10. évfolyam
Egyenlőtlenségek ekvivalens és nem ekvivalens átalakításai 1.
Információ ehhez a munkalaphoz
Szükséges előismeret
Egyenlőtlenségek grafikus megoldása.
Módszertani célkitűzés
Az 
egyenlőtlenségen végrehajtott különböző átalakításokat vizsgáljuk: a kapott „új egyenlőtlenségeknek” más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié?
A tananyagegység igényli a részletes megbeszélést.
A tananyagegység alkalmas frontális, egyéni és páros munkaformához is.
A diákok otthon is használhatják elméleti tudásuk elmélyítéséhez. Hagyjuk, hogy a tanulók önállóan fedezzék fel a paraméterek változtatásával járó következményeket.
A tanegység áttekintő és összefoglaló résznél (ismétlésnél, emelt szinten elméleti áttekintésnél) nagy segítséget nyújthat. Példaként egy konkrét, tanórai egyenlőtlenség megoldásánál is bemutatható, ahol olyan átalakítás történik, amelyik nem ekvivalens egyenlőtlenséghez vezet.
Az alkalmazás nehézségi szintje, tanárként
Közepes.
Módszertani megjegyzés, tanári szerep
Ki
Felhasználói leírás
Figyeld meg, mi történik az egyenlőtlenséggel, ha különböző műveleteket hajtunk végre! Hogyan alakul a különböző lépésekkel kapott új egyenlőtlenségek megoldáshalmaza az eredeti egyenlőtlenség megoldáshalmazához képest?
A megoldáshalmazt a valós számok halmazán keressük.
Tanácsok az interaktív alkalmazás használatához
A panelon felsorolt lehetőségek közül lehet választani. Egyszerre mindig csak egyet.
A „Hozzáad” és a „Szoroz” lehetőségek kiválasztásakor egy-egy csúszkával beállítható a hozzáadni kívánt szám, illetve a szorzótényező – mindkét esetben a [–5; 5] intervallumból választhatunk.
Ha az ábra zsúfolttá válik, akkor eltávolítható egymástól a két megoldáshalmazt jelző intervallum. A Mozgat funkcióval (
) a rózsaszínű végpontra kattintva az intervallumok függőleges irányban elmozgathatók. Az Alapállapot feliratú gombra kattintva az intervallumokat vissza lehet állítani a kiinduló helyzetbe.
Az eredeti egyenlőtlenség két oldalának grafikonja (tehát az 
egyenletű egyenes és az 
egyenletű egyenes) végig látható világoszöld és világoskék színnel. Szintén látható a megoldáshalmaz: 1< x , az x tengelyen narancssárga színnel bejelölve. Ha változtatjuk az egyenlőtlenséget, akkor a két oldalnak megfelelő görbe színe jelzi, mi mihez tartozik. A világoszöldnek a sötétzöld a párja, s hasonlóan a világoskéknek a sötétkék. Az „új egyenlőtlenség” megoldáshalmaza rózsaszínű az x tengelyen.
Feladatok
- Add hozzá az egyenlőtlenség mindkét oldalához ugyanazt a számot! A „Hozzáad” lehetőséget kiválasztva figyeld meg, hogy a kapott új egyenlőtlenségnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié!
INFORMÁCIÓMegoldás: A megoldáshalmaz ugyanaz lesz (ekvivalens átalakítás).
- Szorozd meg mindkét oldalt ugyanazzal a tetszőleges számmal!
A „Szoroz” lehetőséget kiválasztva figyeld meg, hogy a kapott új egyenlőtlenségnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié!
Mi történik, ha 0 a szorzótényező?INFORMÁCIÓMegoldás: A tényező előjelétől függ a megoldáshalmaz.
Ha x > 0, akkor a megoldáshalmaz ugyanaz lesz. Külön emeljük ki a 0-val történő szorzás hatását! Ha x < 0 ,akkor a megoldáshalmaz más lesz. - Emeld négyzetre mindkét oldalt! A „Négyzetre emel” lehetőséget kiválasztva figyeld meg, hogy a kapott új egyenlőtlenségnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié!
INFORMÁCIÓMegoldás: Az „új egyenlőtlenség”megoldáshalmaza más lesz: -1 < x < 1 .
- Mi történik, ha veszed az egyenlőtlenség mindkét oldalának reciprokát? A „Reciprok” lehetőséget kiválasztva figyeld meg, hogy a kapott új egyenlőtlenségnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié!
INFORMÁCIÓMegoldás: Az „új egyenlőtlenség” megoldáshalmaza más lesz: 0,5 < x < 1 vagy x > 2. A művelet elvégzése előtt fontos a kikötések megvizsgálása!
- Emeld köbre mindkét oldalt! A „Köbre emel” lehetőséget kiválasztva figyeld meg, hogy a kapott új egyenlőtlenségnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié!
INFORMÁCIÓMegoldás: A megoldáshalmaz ugyanaz lesz.
- Végezz gyökvonást mindkét oldalon!A „Gyököt von” lehetőséget kiválasztva figyeld meg, hogy a kapott új egyenlőtlenségnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié!
INFORMÁCIÓMegoldás: A gyökvonással kapott új egyenlőtlenség megoldáshalmaza más lesz, mint az eredeti egyenlőtlenségé. Az „új egyenlőtlenség” megoldáshalmaza: üres halmaz.
- Szorozd meg mindkét oldalt x-szel! A „Szoroz x-szel” lehetőséget kiválasztva figyeld meg, hogy a kapott új egyenlőtlenségnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié?
INFORMÁCIÓMegoldás: Az „új egyenlőtlenség”megoldáshalmaza más lesz: x > 0 vagy 1 < x.
- Szorozd meg mindkét oldalt (x-1)-gyel! Az „(x-1)-gyel szoroz” lehetőséget kiválasztva figyeld meg, hogy a kapott új egyenlőtlenségnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié!
INFORMÁCIÓMegoldás: Az „új egyenlőtlenség”megoldáshalmaza más lesz: az 1-től különböző valós számok halmaza.
- Oszd el mindkét oldalt x-szel!
A „x-szel oszt” lehetőséget kiválasztva figyeld meg, hogy a kapott új egyenlőtlenségnek más lesz-e a megoldáshalmaza, mint az eredetié!INFORMÁCIÓMegoldás: Az „új egyenlőtlenség” megoldáshalmaza más lesz: x > 0 vagy 1 < x.