GEOMATECH tananyagok

Szükséges előismeret

Grafikus megoldás, reciprokfüggvény

Módszertani célkitűzés

Az $\frac{1}{x}$+x ≥ 2 egyenlőtlenség grafikus megoldása.

Az alkalmazás nehézségi szintje, tanárként

Könnyű, nem igényel külön készülést.

Módszertani megjegyzések, tanári szerep

Az egyenlőtlenség számtani és mértani közepek közti egyenlőtlenségsegítségével is igazolható az alábbi módon:
$\frac{1}{x}$+x ≥ 2$\cdot$ $\sqrt{\frac{1}{x}x }$ = 2$\cdot$$\sqrt{1}$ = 2
Az egyenlőtlenség differenciálszámítással is igazolható az alábbi módon:
A szélsőérték helyét az első és második derivált függvénysegítségével határozhatjuk meg.
f'(x)=-$\frac{1}{x^2}$+1
0=-$\frac{1}{x^2}$+1
$\frac{1}{x^2}$=1
f''(x)=$\frac{2}{x^3}$
x²=1, ahonnan x₁=1; x₂=-1
Ha x > 0, a második derivált pozitív, a függvény konvex.
Tehát x=1 helyen az f(x) függvénynek lokális minimuma van, mert ezen a helyen az első derivált zérus valamint előjelet vált, és x > 0 esetén a második derivált pozitív.