GEOMATECH tananyagok

KERESÉS

Felhasználói leírás

A Talpponti háromszög 1. című tananyagban megkerestük egy hegyesszögű háromszögbe írt minimális kerületű háromszög két csúcsát, ha a harmadik csúcs (P) rögzítve volt. Most arra vagyunk kíváncsiak, hogy a P pont mely helyzetében lesz a P-hez tartozó minimális kerületű háromszög kerülete a legkisebb. Az A, B, C csúcsok mozgatásával hozz létre egy hegyesszögű háromszöget, majd kattints a háromszög rögzítése mezőbe. Ezzel egyrészt rögzítetted az A, B, C pontokat, másrészt megjelenik egy PQR háromszög is. A P pont az AB oldalon mozgatható, az R és Q csúcsok pedig olyanok, hogy az éppen kiválasztott P pont esetén a PQR háromszög kerülete a legkisebb legyen. (A Q és R pontokat szerkesztéssel kaptuk, a szerkesztés leolvasható az ábráról is.). A PQR háromszög kerülete a P minden helyzetében megegyezik a P`P`` szakasz hosszával. A P pontot mozgatva keresd meg a P pontnak azt a helyzetét, amelyhez a legkisebb kerületű PQR háromszög tartozik!

Tanácsok az interaktív alkalmazás használatához

Az A, B, C csúcsok mozgatásával, a segédanyag indulásakor rögzíthetünk egy tetszőleges hegyesszögű háromszöget. „A háromszög rögzítése” mezőt kipipálva fixálhatjuk az alakzatot. A háromszög AB oldalán tetszőleges helyzetbe mozgathatjuk a P pontot.
A „Segítség” csúszka 5 fokozatú.
Az első fokozat beállítása után megjelenik a kerület abszolút minimuma, illetve az a legkisebb kerület, amit sikerült a kísérletezgetés során beállítani. A pontok mozgatásával az aktuális kerület érték együtt mozog. A második fokozatnál megjelenik a PCP` illetve a PCP háromszög. A harmadik fokozatnál megjelenik zöld színnel a P`CP`` háromszög. A negyedik fokozatnál a P pont automatikusan a C-ből induló magasság talppontja lesz és megjelenik a P pontnál a derékszög. Az utolsó fokozat beállításával megjelenik – fekete színnel – a másik két magasságszakasz is.

Segítő kérdések

1. Hogyan találhatod meg a rögzített P és R pontokhoz azt a Q pontot, amelyik illeszkedik az AC oldalra és a lehető legrövidebb lesz a PQ és QR szakaszok hosszának az összege? (VÁLASZ: Tükrözöm a P pontot az AC oldalra, így kapom a P` pontot. A P` pontot összekötöm az R ponttal. Ekkor az AC oldalon keletkező metszéspont kijelöli a Q pont helyét.)
2. Hogyan keresnéd meg az R pont helyét a BC oldalon, úgy, hogy rögzített P és Q pontok esetén a PR és RQ szakaszok hosszának összege a legrövidebb legyen?
   VÁLASZ:

   Tükrözöm a P pontot a BC oldalra, így kapom a P`` pontot. A P`` pontot összekötöm a Q ponttal. Ekkor a BC oldalon keletkező metszéspont kijelöli az R pont helyét.
3. Ha már külön – külön megtaláltuk, milyen esetben lesz a PQ és QR szakaszok hosszának az összege, illetve a PR és RQ szakaszok hosszának összege a legrövidebb, hogyan tudnánk elérni, hogy a három szakasz (PR, RQ, QP) hosszának összege is minimális legyen?
4. Az előzőekben felhasználtuk, hogy két pont között a „legrövidebb út az egyenes”. A három szakasz összegére is fel tudjuk használni ezt az ismeretet?
   VÁLASZ:

   Kössük össze az 1. és a 2. pontban talált P` és P`` pontokat. A P`P`` szakasz és a háromszög megfelelő oldalainak metszéspontja lesz a keresett 2 pont.
   
   KAPCSOLÓDÓ ÉRDEKESSÉG
   Ez a bizonyítás Fejér Lipót nevéhez kötődik. Diákkorában adott megoldásának ez az anyag az első részét dolgozza fel. A második rész a Talpponti háromszög 2. című anyagban található.
5. Hogyan lehetne belátni, hogy tényleg ez a legkisebb kerület?
   VÁLASZ:

   Az ABC háromszög és a P pont rögzítése miatt a P`, P`` pontok, és így a P`P`` szakasz hossza is állandó. A tükrözés miatt a P`Q szakasz hossza megegyezik a PQ szakasz hosszával, a P``R szakasz hossza pedig a PR szakasz hosszával azonos. Így a P`QRP`` töröttvonal hossza mindig megegyezik a beírt PQR háromszög kerületével. A négy pont által meghatározott töröttvonal hossza akkor lesz minimális, ha Q és R illeszkedik a P`P`` szakaszra.