GEOMATECH tananyagok

KERESÉS

Felhasználói leírás

FELADAT FELVEZETÉSE Egy véletlen kísérlet abból áll, hogy egy szabályos pénzérmét 100-szor feldobunk. Az Alkalmazás grafikusan mutatja azokat a valószínűségeket, amelyeket a kísérlet során dobható fejek száma alapján kaphatunk.
A véletlen kísérlet végrehajtása előtt mire érdemes inkább fogadni: arra, hogy 0-tól 49-ig lesz a dobott fejek száma (50 különböző lehetséges eredmény), vagy arra, hogy ez a szám 47 és 53 között lesz (7 különböző lehetséges eredmény)?

DIÁKOKNAK SZÓLÓ BEVEZETŐ KIEGÉSZÍTÉSE
Arra érdemesebb fogadni, hogy 47 és 53 között lesz a fejek száma, hiszen ennek valószínűsége 0,5-nél nagyobb, míg a 0 és 49 közötti esetek összege nem éri el a 0,5-öt.

Kérdések, megjegyzések, feladatok

FELADAT
Legalább 95%-os valószínűséggel milyen tartományba esik a dobott fejek száma?
A tartományt úgy add meg, hogy a fejek átlagos számára, vagyis az 50-re szimmetrikus legyen!

1. KÉRDÉS
   100 pénzérme-dobás esetén a legvalószínűbb eredmény az, hogy összesen 50-szer dobok fejet.
   Mennyi ennek a valószínűsége?
   
   VÁLASZ:

   
2. KÉRDÉS
   Jól látható, hogy a várható érték (50 fej) körüli fejek dobásának valószínűsége csak kevéssé tér el az 50 fej dobásának valószínűségétől.
   Mekkora a valószínűsége annak, hogy a fejek száma 47 és 53 közé esik (beleértve a két határt is)?
   
   VÁLASZ:

   0,5159
3. KÉRDÉS
   Mire érdemesebb fogadni: arra, hogy 47 és 53 közé esik (7 lehetséges kimenetel) vagy arra, hogy nem (94 lehetséges kimenetel)?
   
   VÁLASZ:

   Arra, hogy 47 és 53 közé esik.
4. KÉRDÉS
   Vizsgáld meg azokat az intervallumokat, amelyeknek az alsó és felső határa a várható értéktől (50 fej) egyenlő távolságra van, tehát az 50-re szimmetrikusak!
   1. 100 dobásból milyen értékek közé esik a fejek száma legalább $\frac{2}{3}$ valószínűséggel?
   2. Mekkora az intervallum határának eltérése az 50-től?
   3. Nézd meg 100, 500 és 1000 dobás esetén is? Vesd össze az eltéréseket a fejek számának szórásával!
   
   
   VÁLASZ:

   1. 45 és 55 közé.
   2. 5 az eltérés, ami éppen a fejek számának szórása.
   3. Az eltérés minden esetben megegyezik a szórással.
5. KÉRDÉS
   Mekkora az eltérés legalább 95%-os valószínűség esetén 100, 500 és 1000 pénzfeldobás esetén?
   Vesd össze az eltéréseket a fejek számának szórásával!
   
   VÁLASZ:

   Az eltérés minden esetben megegyezik a szórás kétszeresével.
6. KÉRDÉS
   Mekkora a valószínűsége annak, hogy a fejek száma a várható értéktől legfeljebb a szórás háromszorosával tér el? (100, 500, 1000 feldobás esetén)
   
   VÁLASZ:

   A valószínűség minden esetben 0,997-nél nagyobb.
7. KÉRDÉS
   A következőkben vizsgáljuk azokat az eseményeket, amelyek a dobott fejek számát adják meg. (Ha a véletlen kísérlet n dobásból áll, akkor a dobott fejek száma
   0, 1, 2, …, n lehet, tehát n + 1 eseményt vizsgálunk.)
   1. Jól látható, hogy 1000 dobás esetén több mint 0,997-et (99,7%-ot) kapunk, ha összegezzük azon események valószínűségeit, amelyeknél a dobott fejek száma a várható értéktől legfeljebb 3 szórásnyival tér el. Ezen események száma hány százalékát adja az összes vizsgált eseménynek?
   2. 100 dobás esetén az összes vizsgált eset hány százalékában teljesül, hogy a dobott fejek száma a várható értéktől legfeljebb háromszoros szórásnyira tér el?
   3. Mire lehet következtetni még több dobás esetén?
   
   
   VÁLASZ:

   1. Mivel a dobott fejek számára 1001 lehetőség van (ennyi tehát a vizsgált események száma), és az eltérés (vagyis a szórás háromszorosa) 48, ezért a kérdezett események száma 97, tehát az arány 9,7%.
   2. 2*15+1=31 Ez az összes vizsgált esemény számának a 31%-a.
   3. Minél több dobásból áll a kísérlet, arányaiban annál kevesebb vizsgált esemény együttes valószínűsége haladja meg a 99,7%-ot. Másképpen fogalmazva, minél több dobásból áll a véletlen kísérlet, annál kevésbé valószínű, hogy a kísérletben a dobott fejek száma „nagyon eltér” a várható értéktől (vagyis a „szélsőséges eredmény” bekövetkezésének valószínűsége kicsi). A „szélsőséges eredmény” itt azt jelenti, hogy a dobott fejek száma a várható értéktől 3 szórásnyinál is jobban eltér. A „szélsőséges eredmény” fogalma a kísérletek számától függ, 1000 dobás esetén például szélsőséges az a kísérleti eredmény (a három szórásnyinál nagyobb eltérést szélsőségesnek tekintve), amelyben az összes fejek száma kevesebb 452-nél vagy több 548-nál.