9. évfolyam: A medián és a kvartilisek gyakorlása a megadott adatok alapján

9. évfolyam

A medián és a kvartilisek gyakorlása a megadott adatok alapján

KERESÉS

Információ ehhez a munkalaphoz

Szükséges előismeret

Gyakoriság, gyakorisági táblázat, oszlopdiagram.

Módszertani célkitűzés

A medián és a kvartilisek biztos használatának begyakoroltatása.

Az alkalmazás nehézségi szintje, tanárként

Közepes.

Módszertani megjegyzés, tanári szerep

A kvartilisek meghatározására nincsen egységes megállapodás. Az általunk (a későbbiekben általánosan is) leírt módszert a jelen szoftver alkalmazza, de más adatelemző szoftverek esetleg más elv alapján határozzák meg a kvartiliseket. Megjegyezzük, hogy nagy adatsokaság esetében a kvartilisek különböző definícióinak gyakorlati szempontból nincs jelentősége. A medián szemléletes jelentése az, hogy a rendezett adatsokaságot „alsó” és „felső” 50%-ra osztja. A kvartilisek három részre osztják a rendezett adatsokaságot: „alsó” 25%, „középső” 50% és „felső” 25%. Az adatok „zöme” legalább akkora, mint az alsó kvartilis és legfeljebb akkora, mint a felső kvartilis, a kvartilisek alatt, illetve feletti adatok pedig a „többségtől” való eltéréseket érzékeltetik. Ezáltal némileg árnyaltabb képet kaphatunk az adatsokaságról, mint ha csak a mediánját vagy/és az átlagát adtuk volna meg. Természetesen az extrém eloszlások esetén ezek a statisztikai jellemzők nem elégségesek, ezért további jellemzőkre is szükség van. (Például az 1, 1, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3,3, 3, 3, 3, 3 adatsokaság mediánja 3, alsó kvartilise 3, felső kvartilise 3. Ez a három statisztikai jellemző együtt sem mond szinte semmit sem a valódi adatsokaságról, talán csak annyit, hogy sok a 3 az adatok között.)

Felhasználói leírás

A táblázat egy vállalat dolgozóinak fizetését tartalmazza. Adj meg továbbiakat, vagy törölj adatokat, és határozd meg a fizetések mediánját, valamint az alsó és a felső kvartilist! Ha szükséges, akkor az adatokat sorba rendezheted a Rendezés bepipálásával. A Boxplot bepipálásával megjelenik a boxplot ábra, amelyről könnyebben leolvashatod az értékeket. A feladatot először enélkül próbáld megoldani!

Tanácsok az interaktív alkalmazás használatához

Hozzáadhatunk új adatot. Sorszám alapján törölhetünk adatokat vagy törölhetjük az összes adatot. A „Rendezés” bepipálásával az adatok a táblázatban növekvő sorrendben jelennek meg. Kikapcsolás után az eredeti sorrendet kapjuk vissza. A tanuló feladata az adatok mediánjának és kvartiliseinek megadása. A válasz a sárga pipával ellenőrizhető. Jó válasz esetén zöld pipa, rossz válasz esetén piros x jelenik meg. A „Boxplot” bepipálásával megjelenik az adatokból készített boxplot ábra (sodrófa diagram). Kikapcsolás után az ábra eltűnik.

Feladatok

Hogyan határozzuk meg a mediánt, ha az adatok száma páratlan?
VÁLASZ:
Páratlan számú adat esetén a „rangsorba állított adatok” között van középső adat, ezt nevezzük mediánnak. Ha az adatok száma n, akkor a medián a rangsorban az $\frac{n+1}{2}$ -dik adat.
Hogyan határozzuk meg a mediánt, ha az adatok száma páros?
VÁLASZ:
Páros számú adat esetén a „rangsorba állított adatok” között nincs középső adat. Ekkor a medián a két középső adat átlaga. Ha az adatok száma n, akkor a medián a rangsor $\frac{n}{2}$ -dik és ( $\frac{n}{2}$ +1)-dik adatának számtani közepe (átlaga).
Milyen szemléletes jelentése van ebben a feladatban a fizetések mediánjának?
VÁLASZ:
Például ha 250 eFt a medián: A dolgozók (legalább) felének legfeljebb 250 eFt a fizetése. VAGY A dolgozók (legalább) felének legalább 250 eFt a fizetése.
Hogyan határozzuk meg a kvartiliseket 8, 9, 10, 11 adat esetén?
VÁLASZ:
8 adat esetén:
- a medián a rangsor 4. és 5. adatának átlaga,
- az alsó kvartilis a rangsor 2. és 3. adatának átlaga,
- a felső kvartilis a rangsor 6. és 7. adatának átlaga.
9 adat esetén:
- a medián a rangsor 5. adata,
- az alsó kvartilis a rangsor 2. és 3. adatának átlaga,
- a felső kvartilis a rangsor 7. és 8. adatának átlaga.
10 adat esetén:
- a medián a rangsor 5. és 6. adatának átlaga,
- az alsó kvartilis a rangsor 3. adata,
- a felső kvartilis a rangsor 8. adata.
11 adat esetén:
- a medián a rangsor 6. adata,
- az alsó kvartilis a rangsor 3. adata,
- a felső kvartilis a rangsor 9. adata.
Hogyan lehetne általánosítani?
VÁLASZ:
Vegyük az összes adatot, de az adatok közül hagyjunk ki egyet, mégpedig a mediánt (ha az adatok között volt). Így páros sok adat maradt, ezeket rendezzük rangsorba. Az alsó kvartilis a sorba rendezett adatok alsó 50%-ának a mediánja, a felső kvartilis az adatok felső 50%-ának a mediánja. Vagyis ha n páros, akkor az első $\frac{n}{2}$ adat mediánja az alsó kvartilis, az utolsó $\frac{n}{2}$ adat mediánja a felső kvartilis. Ha n páratlan, akkor az első $\frac{n-1}{2}$ adat mediánja az alsó kvartilis, az utolsó $\frac{n-1}{2}$ adat mediánja a felső kvartilis.
Milyen szemléletes jelentése van ebben a feladatban a fizetések alsó kvartilisének?
VÁLASZ:
Például, ha 200 eFt az alsó kvartilis: A dolgozók (legalább) negyedének (25%-ának) legfeljebb 200 eFt a fizetése. VAGY A dolgozók (legalább) háromnegyedének (75%-ának) legalább 200 eFt a fizetése.
Milyen szemléletes jelentése van ebben a feladatban a fizetések felső kvartilisének?
VÁLASZ:
Például ha 400 eFt a felső kvartilis: A dolgozók (legalább) háromnegyedének (75%-ának) legfeljebb 400 eFt a fizetése. VAGY A dolgozók (legalább) negyedének (25%-ának) legalább 400 eFt a fizetése.