GEOMATECH tananyagok

KERESÉS

Felhasználói leírás

BEVEZETŐ
Egy urnában 40 egyforma golyó van, 1-től 40-ig sorszámozva. Véletlenszerűen húznak közülük egyet, de neked nem mutatják meg a húzás eredményét. Ha a kihúzott szám 3-mal osztható, akkor nyertél, ha nem, akkor vesztettél.

1. Mekkora a nyerési esélyed?
2. Gergő látja, hogy melyik számot húzták ki és „megsúgja neked”, hogy a kihúzott szám páratlan (de mást nem tudsz meg a húzás eredményéről).

Az új információ birtokában módosítod-e a nyerési esélyedre vonatkozó megállapításodat? Ha igen, akkor hogyan, ha nem, akkor miért nem?

Tanácsok az interaktív alkalmazás használatához

Az  gomb megnyomásával visszatérhetünk az Alkalmazás kezdőállapotába.

Feladatok

1. Az Alkalmazás segítségével határozd meg P(A) értékét: jelöld be az öttel osztható számokat a táblázatban, majd nyomd meg az  gombot!
   VÁLASZ:

   P(A)=.
2. Az Alkalmazás segítségével határozd meg P(A\C) értékét: a „Következő lépés” megnyomása után jelöld be az öttel osztható számokat, ha a kihúzott szám legfeljebb tíz, majd nyomd meg az  gombot!
   VÁLASZ:

   P(A\C)==.
3. A „Következő lépés” megnyomása után vizsgáld meg, hogy P(A) és P(A\C) egyenlők? Ez mit jelent? Az A esemény független a C eseménytől?
   VÁLASZ:

   P(A) = P(A\C) tehát az A esemény független a C-től, ugyanis az A esemény bekövetkezésének valószínűségét nem befolyásolja (nem módosítja) a C esemény bekövetkezése. Az A eseményt a C eseménytől független eseménynek nevezzük, ha az A esemény bekövetkezésének valószínűségét nem befolyásolja (nem módosítja) a C esemény bekövetkezése. (Ebből a megfogalmazásból nyilvánvaló, hogy két esemény függetlenségének kérdését csak akkor lehet felvetni, ha a két esemény egyszerre is bekövetkezhet.)
   Pontosabban: az A esemény a C eseménytől független, ha az A esemény valószínűsége egyenlő az A esemény C eseményre vonatkozó feltételes valószínűségével: P(A) = P(A\C).
4. Állítsd át az „osztó” csúszkát úgy, hogy az értéke 3 legyen! Az Alkalmazás segítségével határozd meg: P(B) értékét: jelöld be a hárommal osztható számokat a táblázatban, majd nyomd meg az  gombot!
   VÁLASZ:

   P(B)=.
5. Az Alkalmazás segítségével határozd meg P(B\C) értékét: a „Következő lépés” megnyomása után jelöld be a hárommal osztható számokat, ha a kihúzott szám legfeljebb tíz, majd nyomd meg az gombot!
   VÁLASZ:

   P(B\C)==.
6. A „Következő lépés” megnyomása után vizsgáld meg, hogy P(B) és P(B\C) egyenlők-e! Ez mit jelent? A B esemény független a C eseménytől?
   VÁLASZ:

   P(B)≠ P(B\C)tehát a B esemény nem független a C-től, ugyanis a B esemény bekövetkezésének valószínűségét befolyásolja (módosítja) a C esemény bekövetkezése.
   Megfigyelhető, hogy függetlenség esetén a mintázat a teljes táblában hasonló, mint a tábla első sorában. A teljes táblában is és a tábla első sorában is az 5-tel osztható számok az 5. és 10. oszlopban helyezkednek el.
   Ugyanakkor a teljes táblát megfigyelve az látható, hogy van olyan sor, ahol három és van olyan sor, ahol négy 3-mal osztható szám van, míg a tábla első sorában három 3-mal osztható szám van. Tehát, ha nem áll fenn a függetlenség, akkor a mintázat „különbözik”. Ez a csúszka áthúzásával szemléltethető.
7. 1. Mutasd meg, hogy ha az A esemény független a C eseménytől, P(A) = P(A\C) vagyis), akkor P(A∩C)=P(A)∙P(C)!
   2. Mutasd meg, hogy ha az A esemény független a C eseménytől, akkor C is független az A-tól, vagyis, ha P(A) = P(A\C), akkor P(C) = P(C\A)!
   3. Igaz-e, hogy ha az A és C eseményekre fennáll P(AC)=P(A)∙P(C), akkor a két esemény független egymástól? (Bizonyítsd be!)
   Legyen P(A)≠0 és P(C)≠0. P(A) = P(A\C)P(A)=(P(AC))/(P(C))P(AC)=P(A)∙P(C)P(C)=P(AC)/P(A) P(C)=P(C\A)
   MEGJEGYZÉS:

   Vagyis, ha A esemény független C eseménytől, akkor C esemény is független A eseménytől. A függetlenségtől „elvárjuk”, hogy szimmetrikus reláció legyen, emiatt a következő módon is szokták definiálni: az A és C események egymástól függetlenek, ha az együttes bekövetkezésük valószínűsége egyenlő a valószínűségeik szorzatával: P(AC)=P(A)∙P(C).
   Tanács: Miután ez utóbbi definíció nem fejezik ki a függetlenség lényegét, emiatt célszerű a tanórán a feltételes valószínűséggel megközelíteni a függetlenség fogalmát, majd ekvivalensen átalakítva eljutni a második definícióhoz.