7. évfolyam: Kombinációk 3.

7. évfolyam

Kombinációk 3.

KERESÉS

Információ ehhez a munkalaphoz

Módszertani célkitűzés

A kiválasztási lehetőségek leszámolási módja. Kombinatorikai azonosságok szemléltetése.

Módszertani megjegyzések, tanári szerep

Hányféleképpen választható ki 9 számból 2 szám, illetve 4 szám? Hogyan módosulnak ekkor az összefüggések?

ÉRDEKESSÉG

Az egyes oszlopokban a kiválasztások száma éppen egy háromszögszám. Jobb oldalról indítva a sorszámozást, a k-adik oszlopban a betűhármasok száma a k-adik háromszögszám. Ezek a Pascal-háromszögben is megtalálhatók, mindegyik sorban a második helyen (a nulladik helyen az 1 áll).

Módszertani megjegyzések

Három fontos összefüggés szemléltethető:

$begin mathsize 12px style open parentheses table row n row k end table close parentheses equals open parentheses table row n row cell k minus 1 end cell end table close parentheses end style$

$begin mathsize 12px style open parentheses table row n row k end table close parentheses equals open parentheses table row cell n minus 1 end cell row cell k minus 1 end cell end table close parentheses plus open parentheses table row cell n minus 2 end cell row k end table close parentheses plus open parentheses table row cell n minus 3 end cell row cell k minus 2 end cell end table close parentheses plus... plus open parentheses table row k row cell k minus 1 end cell end table close parentheses plus open parentheses table row cell k minus 1 end cell row cell k minus 1 end cell end table close parentheses end style$ , ahol $begin mathsize 12px style k greater than 0 end style$ .

A tananyag önálló tanulói feldolgozásra készült. A megbeszélésnél mindenképpen emeljük ki a módszeres leírás fontosságát.

Az alkalmazás nehézségi szintje, tanárként

Könnyű, nem igényel külön készülést.

Felhasználói leírás

Az 1980-as években külön jegyet lehetett vásárolni a villamos és külön a busz használatához. Az alábbi képen egy nagyon régi villamos vonaljegyet látsz.
A vonaljegyen 9 szám közül hármat lyukasztott ki a jegyérvényesítő gép.

Hányféle beállítása van a jegyérvényesítő gépnek?
Másképpen fogalmazva: hányféleképpen tudsz 9 számból hármat kiválasztani?
Keresd meg az összes lehetséges kiválasztást!

Tanácsok az interaktív alkalmazás használatához

- Kiválasztható a lyukak száma, amely 3 vagy 6 lehet.
- Három (vagy hat) szám kiválasztása után - az Érvényesít gombot megnyomva - rögzíthető a kiválasztás!
- A Javít gombbal (seprű ikonnal) módosítható a kiválasztás.
- Az Alkalmazás a kiválasztott számhármasokat növekvő sorrendben írja ki.
- A Komplementer bepipálásával megjeleníthető minden számhármasnak a számhatos-párja.
- Az Újra gombbal elölről kezdhető a kiválasztás.
- A Segítség csúszkának 3 állása van, amely rávezet a rendezési és csoportosítási szisztémára.
- Ha mindegyik kiválasztást megtaláltuk, akkor azt felirat jelzi.

Feladatok

Érvényesíts néhány vonaljegyet! Három szám kiválasztása után nyomd meg az Érvényesít gombot! Ha változtatni akarsz a kiválasztott számokon, akkor ezt a Javít gombbal (seprű ikonnal) teheted meg.
Figyeld meg a kiválasztott számhármasokelhelyezkedését! Mi az oszlopokba rendezés szempontja?
INFORMÁCIÓ
Megoldás: Az Alkalmazás a számhármasokat növekvő sorrendben jeleníti meg.
Az első oszlopban vannak azok a kiválasztások, amelyeknél az egyest kiválasztottuk, tehát 1-gyel kezdődik a számhármas. A második oszlopban vannak azok a kiválasztások, amelyeknél az egyest nem, de a kettest kiválasztottuk, tehát 2-vel kezdődik a számhármas.
A harmadik oszlopban vannak azok a kiválasztások, amelyeknél az egyest és a kettest nem, de a hármast kiválasztottuk, tehát 3-mal kezdődik a számhármas. És így tovább, a hetedik oszlopban a növekvő sorrend szerinti utolsó számhármas van. Tanács: a tanulók próbáljanak önállóan rájönni az elrendezésre. Ehhez nyújthat segítséget a 3 fokozatú Segítség csúszka.
Ha nem sikerült az előző kérdésre választ adnod, akkor válaszd a Segítség első szintjét. Figyeld meg a pirossal megjelent számokat és próbálj újra választ adni a kérdésre! Ha további iránymutatást érzel szükségesnek, akkor válaszd a Segítség második szintjét!
A Segítség harmadik szintjén az utolsó 3 oszlop összes számhármasát megmutatjuk. Figyeld meg a szabályszerűséget! Pótold a hiányzó számhármasokat!
Hány kiválasztás van az első oszlopban?
INFORMÁCIÓ
Megoldás: Mivel ezekben a kiválasztásokban benne van az egyes, így összesen annyi kiválasztás van, ahányféleképpen 8 számból kiválasztható 2, azaz $begin mathsize 12px style open parentheses table row 8 row 2 end table close parentheses equals 28 end style$ .
Hány kiválasztás van a második oszlopban?
INFORMÁCIÓ
Megoldás: Mivel ezekben a kiválasztásokban benne van a kettes, de az egyes nincs, így összesen annyi kiválasztás van, ahányféleképpen 7 számból kiválasztható 2, azaz $begin mathsize 12px style open parentheses table row 7 row 2 end table close parentheses equals 21 end style$ .
Hány kiválasztás van a harmadik oszlopban?
INFORMÁCIÓ
Megoldás: Mivel ezekben a kiválasztásokban benne van a hármas, de az egyes és a kettes nincs, így összesen annyi kiválasztás van, ahányféleképpen 6 számból kiválasztható 2, azaz 6 $begin mathsize 12px style open parentheses table row 6 row 2 end table close parentheses equals 15 end style$ .
Hány kiválasztás van a negyedik oszlopban?
INFORMÁCIÓ
Megoldás: Mivel ezekben a kiválasztásokban benne van a négyes, de az egyes, a kettes és a hármas nincs, így összesen annyi kiválasztás van, ahányféleképpen 5 számból kiválasztható 2, azaz $begin mathsize 12px style open parentheses table row 5 row 2 end table close parentheses equals 10 end style$ .
Hány kiválasztás van az ötödik oszlopban?
INFORMÁCIÓ
Megoldás: Mivel ezekben a kiválasztásokban benne van az ötös, de az egyes, a kettes, a hármas és a négyes nincs, így összesen annyi kiválasztás van, ahányféleképpen 4 számból kiválasztható 2, azaz $begin mathsize 12px style open parentheses table row 4 row 2 end table close parentheses equals 6 end style$ .
Hány kiválasztás van a hatodik oszlopban?
INFORMÁCIÓ
Megoldás: Mivel ezekben a kiválasztásokban benne van a hatos, de az egyes, a kettes, a hármas, a négyes és az ötös nincs, így összesen annyi kiválasztás van, ahányféleképpen 3 számból kiválasztható 2, azaz $begin mathsize 12px style open parentheses table row 3 row 2 end table close parentheses equals 3 end style$ .
Hány kiválasztás van a hetedik oszlopban?
INFORMÁCIÓ
Megoldás: Mivel ezekben a kiválasztásokban benne van a hetes, de az egyes, a kettes, a hármas, a négyes, az ötös és a hatos nincs, így összesen annyi kiválasztás van, ahányféleképpen 2 számból kiválasztható, azaz $begin mathsize 12px style open parentheses table row 2 row 2 end table close parentheses equals 1 end style$ .
Hány kiválasztás van összesen?
INFORMÁCIÓ
Megoldás: 9 főből 3 főt $begin mathsize 12px style open parentheses table row 9 row 3 end table close parentheses equals 84 end style$ -féleképpen lehet kiválasztani. Összefüggések: - Az összes lehetségeskiválasztást csoportosítani lehet az alapján, hogy Anitát kiválasztottuk vagy nem választottuk ki. Ha Anitát kiválasztottuk, akkor már csak 2 főt kell kiválasztani 8 fő közül, amit $begin mathsize 12px style open parentheses table row 8 row 3 end table close parentheses equals 56 end style$ -féleképpen tehetünk meg. Ha Anitát nem választottuk ki, akkor 3 főt kell kiválasztani 8 fő közül, amit $begin mathsize 12px style open parentheses table row 8 row 2 end table close parentheses equals 28 end style$ -féleképpen tehetünk meg.
Összesen 28+56=84 kiválasztás van, ami felírható a következő összefüggéssel: $begin mathsize 12px style open parentheses table row 8 row 2 end table close parentheses plus open parentheses table row 8 row 3 end table close parentheses equals open parentheses table row 9 row 3 end table close parentheses end style$ . (Ezek alapján általánosítható az összefüggés, amely a Pascal-háromszögben is jelentkezik.)
- A 4. kérdés válaszai alapján kapjuk a következő összefüggést: $begin mathsize 12px style open parentheses table row 8 row 2 end table close parentheses plus open parentheses table row 7 row 2 end table close parentheses plus open parentheses table row 6 row 2 end table close parentheses plus open parentheses table row 5 row 2 end table close parentheses plus open parentheses table row 4 row 2 end table close parentheses plus open parentheses table row 3 row 2 end table close parentheses plus open parentheses table row 2 row 2 end table close parentheses equals open parentheses table row 9 row 3 end table close parentheses end style$ . (Ez tulajdonképpen a Pascal-háromszög „harisnya”-tulajdonsága.)
Ha nem szeretnéd az összes utazócsoportot kiválasztani, de tudod, hogy összesen hány eset van, akkor a „Tippelek” gomb megnyomása után azt beírhatod és ellenőrizheted, hogy jól gondolod-e. (Ha a tippelés után mégis folytatni szeretnéd a kiválasztást, akkor valamelyik gyerek képére kattintva azt megteheted.
Hányféleképpen lehet 9 számból hatot kiválasztani?
INFORMÁCIÓ
Megoldás: Ha a 9 számból kiválasztunk hármat, amelyet kilyukaszt a gép, akkor ez úgy is megtehető, ha kiválasztunk hatot, amelyet nem lyukaszt ki a gép. Tehát 9 számból hármat pontosan annyiféleképpen lehet kiválasztani, ahányféleképpen 9 számból hatot ki lehet választani: $begin mathsize 12px style open parentheses table row 9 row 3 end table close parentheses equals open parentheses table row 9 row 6 end table close parentheses end style$ . Ezek alapján általánosítható az összefüggés, amely a Pascal-háromszög szimmetrikus tulajdonságánál is jelentkezik.
Ha az előző kérdést alaposan átgondoltad, akkor a „Komplementer”-t pipáld be!
INFORMÁCIÓ
Megoldás: A kiválasztott számhármasok és számhatosok között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető, amely a Komplementer pipával szemléltethető.
Az gomb megnyomása után a Lyukak számát állítsd át 6-ra! Érvényesítsd a jegyet! Vajon milyen elv alapján csoportosítjuk az érvényesített jegyeket? (Ha a kérdést alaposan átgondoltad, akkor a „Komplementer”-t pipáld be!)
INFORMÁCIÓ
Megoldás: A ki nem lyukasztott számok (komplementer) alapján vannak csoportosítva a jegyek.
Ha nem szeretnéd az összes jegyet érvényesíteni, de tudod, hogy összesen hány eset van, akkor a „Tippelek” gomb megnyomása után azt beírhatod és ellenőrizheted, hogy jól gondolod-e. (Ha a tippelés után mégis folytatni szeretnéd a jegyérvényesítést, akkor a vonaljegyre klikkelve azt megteheted.)