7. évfolyam: Kombinációk 2.

7. évfolyam

Kombinációk 2.

KERESÉS

Információ ehhez a munkalaphoz

Módszertani célkitűzés

A kiválasztási lehetőségek leszámolási módja. Kombinatorikai azonosságok szemléltetése.

Módszertani megjegyzések, tanári szerep

Hányféleképpen választható ki 9 főből egy 2 fős, illetve egy 4 fős utazócsoport? Hogyan módosulnak ekkor az összefüggések?

Továbbhladási lehetőségek:

Komplementer kiválasztás: hányféleképpen választható ki 9 főből egy 6 fős utazócsoport?

Módszertani megjegyzések

Két fontos összefüggés szemléltethető:

$begin mathsize 12px style open parentheses table row n row k end table close parentheses equals open parentheses table row cell n minus 1 end cell row cell k minus 1 end cell end table close parentheses plus open parentheses table row cell n minus 2 end cell row cell k minus 1 end cell end table close parentheses plus open parentheses table row cell n minus 3 end cell row cell k minus 2 end cell end table close parentheses plus... plus open parentheses table row k row cell k minus 1 end cell end table close parentheses plus open parentheses table row cell k minus 1 end cell row cell k minus 1 end cell end table close parentheses end style$ , ahol $begin mathsize 12px style k greater than 0 end style$ .

A tananyag önálló tanulói feldolgozásra készült. A megbeszélésnél mindenképpen emeljük ki a módszeres leírás fontosságát.

Az alkalmazás nehézségi szintje, tanárként

Könnyű, nem igényel külön készülést.

Felhasználói leírás

Egy 9 fős baráti társaságból ki kell választanod egy 3 fős utazócsoportot.
Hányféleképpen teheted meg? Keresd meg az összes lehetséges kiválasztást!

Ha nem szeretnéd az összes utazócsoportot kiválasztani, de tudod, hogy összesen hány eset van, akkor a „Tippelek” gomb megnyomása után azt beírhatod és ellenőrizheted, hogy jól gondolod-e. Ha a tippelés után mégis folytatni szeretnéd a kiválasztást, akkor valamelyik gyerek képére kattintva azt megteheted.

Tanácsok az interaktív alkalmazás használatához

Három gyermek kiválasztása után a Kiválaszt gombot megnyomva rögzíthető a kiválasztás!
A Javít gombbal (seprű ikonnal) módosítható a kiválasztás.
Az Alkalmazás a kiválasztott gyermekeket a nevek kezdőbetűivel jelöli és a betűhármasokat ábécé sorrendben írja ki.
Az Újra () gombbal elölről kezdhető a kiválasztás.
A Segítség csúszkának 3 állása van, a rendezés és csoportosítás szempontjának megtalálásában nyújt segítséget.
Ha mindegyik kiválasztást megtaláltuk, akkor azt felirat jelzi.

Feladatok

Válassz ki néhány 3 fős utazócsoportot! Három gyermek kiválasztása után nyomd meg a Kiválaszt gombot! Ha változtatni akarsz a kiválasztottakon, akkor ezt a Javít gombbal (seprű ikonnal) teheted meg. Az Alkalmazás a kiválasztott gyermekeket a nevek kezdőbetűivel jelöli.
Figyeld meg a kiválasztott gyermekek elhelyezkedését! Mi az oszlopokba rendezés szempontja?
INFORMÁCIÓ
Megoldás:
A betűhármasokat ábécé sorrendben írja ki az Alkalmazás. Az első oszlopban vannak azok a kiválasztások, amelyeknél Anitát kiválasztottuk, tehát A-val kezdődik a betűhármas. A második oszlopban vannak azok a kiválasztások, amelyeknél Anitát nem, de Bencét kiválasztottuk, tehát B-vel kezdődik a betűhármas. A harmadik oszlopban vannak azok a kiválasztások, amelyeknél Anitát és Bencét nem, de Cilit kiválasztottuk, tehát C-vel kezdődik a betűhármas. És így tovább, a hetedik oszlopban az ábécé szerinti utolsó három gyermek.
Tanács: a tanulók próbáljanak önállóan rájönni az elrendezésre. Ehhez nyújthat segítséget a 3 fokozatú Segítség csúszka.
Ha nem sikerült az előző kérdésre választ adnod, akkor válaszd a Segítség első szintjét. Figyeld meg a pirossal megjelent betűket és próbálj újra választ adni a kérdésre! Ha további iránymutatást érzel szükségesnek, akkor válaszd a Segítség második szintjét!
A Segítség harmadik szintjén az utolsó 3 oszlop összes betűhármasát megmutatjuk. Figyeld meg a szabályszerűséget! Pótold a hiányzó betűhármasokat!
a) Hány kiválasztás van az első oszlopban?
b) Hány kiválasztás van a második oszlopban?
c) Hány kiválasztás van a harmadik oszlopban?
d) Hány kiválasztás van a negyedik oszlopban?
e) Hány kiválasztás van az ötödik oszlopban?
f) Hány kiválasztás van a hatodik oszlopban?
g) Hány kiválasztás van a hetedik oszlopban?
INFORMÁCIÓ
Megoldás:
a) Mivel ezekben a kiválasztásokban benne van Anita, így összesen annyi kiválasztás van, ahányféleképpen 8 főből kiválasztható 2 fő, azaz $begin mathsize 12px style open parentheses table row 8 row 2 end table close parentheses equals 28 end style$ .
b) Mivel ezekben a kiválasztásokban benne van Bence, de Anita nincs, így összesen annyi kiválasztás van, ahányféleképpen 7 főből kiválasztható 2 fő, azaz 7 $begin mathsize 12px style open parentheses table row 7 row 2 end table close parentheses equals 21 end style$ .
c) Mivel ezekben a kiválasztásokban benne van Cili, de Anita és Bence nincs, így összesen annyi kiválasztás van, ahányféleképpen 6 főből kiválasztható 2 fő, azaz 6 $begin mathsize 12px style open parentheses table row 6 row 2 end table close parentheses equals 15 end style$ .
d) Mivel ezekben a kiválasztásokban benne van Dani, de Anita, Bence és Cili nincs, így összesen annyi kiválasztás van, ahányféleképpen 5 főből kiválasztható 2 fő, azaz $begin mathsize 12px style open parentheses table row 5 row 2 end table close parentheses equals 10 end style$ .
e) Mivel ezekben a kiválasztásokban benne van Ernő, de Anita, Bence, Cili és Dani nincs, így összesen annyi kiválasztás van, ahányféleképpen 7 főből kiválasztható 2 fő, azaz $begin mathsize 12px style open parentheses table row 4 row 2 end table close parentheses equals 6 end style$ .
f) Mivel ezekben a kiválasztásokban benne van Fruzsi, de Anita, Bence, Cili, Dani és Ernő nincs, így összesen annyi kiválasztás van, ahányféleképpen 3 főből kiválasztható 2 fő, azaz $begin mathsize 12px style open parentheses table row 3 row 2 end table close parentheses equals 3 end style$ .
g) Mivel ezekben a kiválasztásokban benne van Gabi, de Anita, Bence, Cili, Dani, Ernő és Fruzsi nincs, így összesen annyi kiválasztás van, ahányféleképpen 2 főből kiválasztható 2 fő, azaz $begin mathsize 12px style open parentheses table row 2 row 2 end table close parentheses equals 1 end style$ .
ÉRDEKESSÉG
Az egyes oszlopokban a kiválasztások száma éppen egy háromszögszám. Jobb oldalról indítva a sorszámozást, a k-adik oszlopban a betűhármasok száma a k-adik háromszögszám. Ezek a Pascal-háromszögben is megtalálhatók, mindegyik sorban a második helyen (a nulladik helyen az 1 áll).
Hány kiválasztás van összesen?
INFORMÁCIÓ
Megoldás:
9 főből 3 főt $begin mathsize 12px style open parentheses table row 9 row 3 end table close parentheses equals 84 end style$ -féleképpen lehet kiválasztani. Összefüggések:
- Az összes lehetségeskiválasztást csoportosítani lehet az alapján, hogy Anitát kiválasztottuk vagy nem választottuk ki. Ha Anitát kiválasztottuk, akkor már csak 2 főt kell kiválasztani 8 fő közül, amit $begin mathsize 12px style open parentheses table row 8 row 2 end table close parentheses equals 28 end style$ -féleképpen tehetünk meg. Ha Anitát nem választottuk ki, akkor 3 főt kell kiválasztani 8 fő közül, amit $begin mathsize 12px style open parentheses table row 8 row 3 end table close parentheses equals 56 end style$ -féleképpen tehetünk meg.
Összesen 28+56=84 kiválasztás van, ami felírható a következő összefüggéssel: $begin mathsize 12px style open parentheses table row 8 row 2 end table close parentheses plus open parentheses table row 8 row 3 end table close parentheses plus open parentheses table row 9 row 3 end table close parentheses end style$ . (Ezek alapján általánosítható az összefüggés, amely a Pascal-háromszögben is jelentkezik.)
- A 4. kérdés válaszai alapján kapjuk a következő összefüggést: $begin mathsize 12px style open parentheses table row 8 row 2 end table close parentheses plus open parentheses table row 7 row 2 end table close parentheses plus open parentheses table row 6 row 2 end table close parentheses plus open parentheses table row 5 row 2 end table close parentheses plus open parentheses table row 4 row 2 end table close parentheses plus open parentheses table row 3 row 2 end table close parentheses plus open parentheses table row 2 row 2 end table close parentheses equals open parentheses table row 9 row 3 end table close parentheses end style$ . (Ez tulajdonképpen a Pascal-háromszög „harisnya”-tulajdonsága.)