GEOMATECH tananyagok

KERESÉS

Felhasználói leírás

Változtasd meg az egyik beviteli mezőben a számot és figyeld meg, hogy az A, B, C, A ⋂ B, A ⋂ C, B ⋂ C, A ⋂ B ⋂C, A ⋃ B ⋃ C halmazok közül melyiknek változik meg az elemszáma!

Tanácsok az interaktív alkalmazás használatához

Újra gombbal () elölről kezdhető a találgatás.

Feladatok

1. Kísérletezz! Írj a beviteli mezőkbe olyan számokat, hogy 
   a) az A halmaz elemszáma 17 legyen!
   b) az A ⋂ B halmaz elemszáma 32 legyen! 
   c) az A ⋂ C, halmaz elemszáma 28 legyen! 
   d) az A ⋂ B ⋂C halmaz elemszáma 9 legyen!
   e) az A ⋃ B ⋃ C halmaz elemszáma 60 legyen!
2. Írj a beviteli mezőkbe olyan számokat, hogy 
   a) az A elemszáma 14, a B elemszáma 25, az A ⋂ B elemszáma pedig 8 legyen!
   b) az A elemszáma 12, a B elemszáma 22, az A ⋃ B elemszáma pedig 26 legyen!
   c) az A ⋂ B elemszáma 6, az A ⋂ B ⋂C elemszáma 2, a C elemszáma 5 legyen!
   d) az A elemszáma 12, a B elemszáma 14, a C elemszáma 22, az A ⋂ B  elemszáma 5, az A ⋂ C elemszáma 9, az A ⋂ B ⋂C elemszáma pedig 3!
   e) az A ⋃ B ⋃ C elemszáma 46, az A ⋂ B elemszáma 9, a B ⋂ C elemszáma 12, a C elemszáma pedig 26!
   Több megoldást is találtál?
3. Írj a beviteli mezőkbe olyan számokat, hogy 
   a) az A elemszáma 10, a B elemszáma 8, az A ⋂ B elemszáma pedig 9 legyen!
   b) az A elemszáma 10, a B elemszáma 8, a C elemszáma 21, az A ⋃ B ⋃ C elemszáma pedig 15 legyen!
   c) az A ⋃ B elemszáma 28, az A ⋂ B elemszáma pedig 30 legyen! Hány megoldást találtál? Mi lehet ennek az oka?
   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: Ezeknek a feladatoknak nincs megoldásuk, hiszen a metszet elemszáma nem lehet nagyobb egyik azt tartalmazó halmaz elemszámánál sem, illetve egyik részhalmaz elemszáma sem lehet nagyobb az unióénál.
4. Az alábbi feladatokat is próbáld meg az ábra kitöltésével és az alatta látható összefüggéssel megoldani!
   A 39 fős nyári táborban első este mindenki salátát rendelt vacsorára. Összesen háromfélét ettek: gyümölcssalátát, görög salátát, tonhalsalátát. Mindenki rendelt valamilyet a három közül: görög salátát 17-en, gyümölcssalátát 19-en, tonhalsalátát 13-an. Egy diák rendelt mindháromból. A görög salátát rendelők közül 11-en nem kértek gyümölcssalátát és 9 olyan diák volt, aki sem görög, sem gyümölcssalátát nem evett. A csak gyümölcssaláták rendelők 1-gyel többen voltak, mint a csak tonhalasat rendelők. Hány olyan tanuló volt, aki tonhalas és gyümölcssalátát is rendelt, de görög salátát nem?
   INFORMÁCIÓ

   Megoldás:
   Töltsük ki a feladat szövege alapján lépésről lépésre az ábrát!
   (Például a halmazok legyenek rendre:
    A= görög salátát rendelők, 
    B= gyümölcssalátát rendelők, 
    C= tonhalsalátát rendelők). 
   A kitöltést „belülről kifelé” célszerű elkezdenünk, vagyis első lépésben a metszetet töltjük ki. Miután beírtunk néhány adatot az ábrába, újra átolvassuk az eddig fel nem használt információkat, mert a beírt adatok segítségével újabb tartományokat tudunk kitölteni.
   A feladat szövege alapján tudjuk a következőket:
   Újra átolvasva újabb adatokat kapunk:
   |(B\A)\C|=9+1=10;
   |A⋂B|=17-11=6|(A⋂B)\C=6-1=5;
   |(B⋂C)\A|=19-10-1-5=3;
   |(A⋂C)\B|=13-9-3-1=0;
   |(A\B)\C|=17-5-1-0=11
   3 olyan gyerek volt, aki tonhalas- és gyümölcssalátát is evett, de görög salátát nem.
5. Egy felmérésből kiderült, hogy egy iskola tanulói közül 90-en rendszeresen sportolnak, 77-en kedvelik a komolyzenét és 152-en rajonganak az AMFM együttesért. 
   - Lehet-e az iskola tanulóinak száma 350?
   - Ha az iskola tanulóinak száma 165, akkor legfeljebb hány olyan tanulója van, aki kedveli a komolyzenét, de nem sportol?
   INFORMÁCIÓ

   Megoldás:
   - Lehet az iskola tanulóinak száma 350, hiszen azoknak a száma, akik egyiket sem kedvelik, akármekkora lehet. - A legtöbb ilyen tanuló akkor van, ha a komolyzenét kedvelő sportolók létszámát minimálisra csökkentjük. Mivel 77 + 90 = 167, ezért a két halmaz metszete legalább 2 elemű, azaz legfeljebb 75 komolyzenét kedvelő, de nem sportoló lehet ebben az iskolában.
6. Meg tudod indokolni, hogy miért lesz minden esetben igaz a halmazábra alatt látható összefüggés, az úgynevezett logikai szitaformula?
   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: Ahhoz, hogy megkapjuk az A, B és C halmazok uniójának számosságát, össze kell adni a halmazok elemeinek számát. Ekkor azonban kétszer számoltuk az A és B, B és C, C és A halmazok közös elemit, így ezek számát le kell vonni. Így viszont azokat, amelyek mindhárom halmaznak közös elemei, háromszor adtuk hozzá és háromszor le is vontuk, ezért egyszer a végén még hozzá kell adnunk. (Logikai szita)