7. évfolyam: Négyzetben négyzet 1.

7. évfolyam

Négyzetben négyzet 1.

KERESÉS

Információ ehhez a munkalaphoz

Szükséges előismeret

Négyzet kerülete és területe.

Módszertani célkitűzés

Kijelöljük az ABCD négyzet AB oldalán az A-hoz közelebbi, BC oldalán a B-hez közelebbi, CD oldalán a C-hez közelebbi, DA oldalán a D-hez közelebbi harmadoló pontot. A feladat:

1. Annak észrevétele, majd bizonyítása, hogy a tekintett harmadoló pontok által meghatározott négyszög is négyzet.
2. Annak meghatározása, hogy a harmadoló pontok által meghatározott négyzet kerülete és területe hányad része az eredeti négyzet kerületének, illetve területének.

Módszertani megjegyzések, tanári szerep

Ez a tananyagegység frontális munkához és önálló munkához egyaránt használható. Kevésbé jó képességű csoportok esetén tanári vezetéssel javasolt feldolgozni. Amennyiben ezt a munkát választjuk, használjunk aktív táblát, és minél több kérdéssel vezessük végig a gyerekeket a felfedezés lépésein. A lényeg, hogy a diákok végig aktív szereplői legyenek a felfedezésnek és a bizonyításnak. Törekedjünk arra, hogy a szaknyelvet minél többször használják.

Módszertani megjegyzések

TOVÁBBHALADÁSI LEHETŐSÉGEK: Négyzetek egymásba skatulyázott sorozata.

Az alkalmazás nehézségi szintje, tanárként

Könnyű, nem igényel külön készülést.

Felhasználói leírás

A rajzlapon egy egységnyi oldalú ABCD négyzetet látsz. A beleírt új négyszöget úgy kaptuk, hogy AB oldalán az A-hoz közelebbi, BC oldalán a B-hez közelebbi, CD oldalán a C-hez közelebbi, DA oldalán a D-hez közelebbi harmadoló pont lett az új négyszög csúcsa. Mit tudsz mondani az új négyszögről, illetve oldalainak hosszáról? Hányad része az új négyszög kerülete, illetve területe a kiinduló négyzetének? Változtatna-e a dolgokon, ha a kiinduló négyzet nem egységoldalú lenne?

Tanácsok az interaktív alkalmazás használatához

A papíron kiszámolt értékeket 4 tizedesjegyre kerekítve is elfogadja a program. Amennyiben a pontos értéket szeretnénk beírni, a négyzetgyök megadása az sqrt() paranccsal történik.

Feladatok

Mekkora a kiinduló négyzet kerülete? (Az alkalmazás beviteli mezőibe történő tizedestört bevitelekor vessző helyet pontot kell írnod.)
INFORMÁCIÓ
Megoldás: 4 egység.
Mekkora a kiinduló négyzet területe?
INFORMÁCIÓ
Megoldás: 1 területegység.
Milyenek a „levágott” háromszögek, mekkorák az oldalai és a szögei?
INFORMÁCIÓ
Megoldás: A beírt négyszög által levágott háromszögek egybevágó derékszögű háromszögek. Befogói a négyzet oldalainak $begin mathsize 14px style 1 third end style$ ,illetve $begin mathsize 14px style 2 over 3 end style$ része. Az átfogó a négyzet oldalának $begin mathsize 14px style fraction numerator square root of 5 over denominator 3 end fraction end style$ -szorosa. Így a beírt négyszög egyenlő oldalú, a szögei pedig derékszögek. Azaz a beírt négyszög is négyzet. Oldala az eredeti négyzet oldalának $begin mathsize 14px style fraction numerator square root of 5 over denominator 3 end fraction end style$ -szorosa.
Mekkora második négyszög kerülete és területe?
INFORMÁCIÓ
Megoldás: $begin mathsize 14px style K subscript 2 equals 4 times fraction numerator square root of 5 over denominator 3 end fraction end style$ egység és $begin mathsize 14px style T subscript 2 equals 5 over 9 end style$ területegység.
Van-e valamilyen kapcsolat a két négyszög megfelelő adatai között?
INFORMÁCIÓ
Megoldás: Az új négyszög négyzet, az oldala a megelőző négyzet oldalának $begin mathsize 14px style fraction numerator square root of 5 over denominator 3 end fraction end style$ -szorosa. A kerületek aránya $begin mathsize 14px style fraction numerator square root of 5 over denominator 3 end fraction end style$ , a területek aránya $begin mathsize 14px style 5 over 9 end style$ .
Változna-e a kapcsolat, ha a kiinduló négyzet oldala nem egységnyi lenne?
INFORMÁCIÓ
Megoldás: Változna. Amennyiben a kiinduló négyzet oldalhosszúsága a, az új oldalhossz és a kerület az a-szorosára, a terület a² – szeresére változna.