8. évfolyam: Négyzetben négyzet 3.

8. évfolyam

Négyzetben négyzet 3.

KERESÉS

Információ ehhez a munkalaphoz

Szükséges előismeret

Négyzet kerülete és területe.

Módszertani célkitűzés

Kijelöljük az ABCD négyzet AB oldalán az A-hoz közelebbi, p:q arányú, BC oldalán a B-től számított p:q arányú, CD oldalán a C-től számított p:q arányú, és DA oldalán a D-től számított arányú osztópontot ( és egész számok, értékük 1 és 6 között választható). A feladat:

1. Annak észrevétele, majd bizonyítása, hogy a tekintett osztópontok által meghatározott négyszög is négyzet.
2. Annak meghatározása, hogy a tekintett osztópontok által meghatározott négyzet kerülete és területe hányad része az eredeti négyzet kerületének, illetve területének.

Az alkalmazás nehézségi szintje, tanárként

Könnyű, nem igényel külön készülést.

Módszertani megjegyzések, tanári szerep

Ez a tananyagegység frontális munkához és önálló munkához egyaránt használható. Kevésbé jó képességű csoportok esetén tanári vezetéssel javasolt feldolgozni. Amennyiben ezt a munkát választjuk, használjunk aktív táblát, és minél több kérdéssel vezessük végig a gyerekeket a felfedezés lépésein. A lényeg, hogy a diákok végig aktív szereplői legyenek a felfedezésnek és a bizonyításnak. Törekedjünk arra, hogy a szaknyelvet minél többször használják.

Továbbhaladási lehetőségek

Négyzetek egymásba skatulyázott sorozata.

Felhasználói leírás

A rajzlapon egy egységnyi oldalú ABCD négyzetet látsz. A beleírt új négyszöget úgy kaptuk, hogy AB oldalán az A-tól számított p:q arányú, BC oldalán a B-től számított p:q arányú, CD oldalán a C-től számított p:q arányú, DA oldalán a D-től számított p:q arányú osztópont lett az új négyszög csúcsa.
A feladatban p és q egész számok, értékük 1 és 6 között választható egész számok. Rögzíts a csúszka segítségével egy konkrét p és q értéket.
Mit tudsz mondani az új négyszögről, illetve oldalainak hosszáról?
Hányad része az új négyszög kerülete, illetve területe a kiinduló négyzetének? Változtatna-e a dolgokon, ha a kiinduló négyzet nem egységoldalú lenne?

Tanácsok az interaktív alkalmazás használatához

A papíron kiszámolt értékeket 4 tizedesjegyre kerekítve is elfogadja a program. Amennyiben a pontos értéket szeretnénk beírni, a négyzetgyök megadása az sqrt() paranccsal történik.

Feladatok

Mekkora a kiinduló négyzet kerülete? (Az alkalmazás beviteli mezőibe történő tizedestört bevitelekor vessző helyet pontot kell írnod.)
VÁLASZ:
4 egység.
Mekkora a kiinduló négyzet területe?
VÁLASZ:
1 területegység.
Milyenek a „levágott” háromszögek, mekkorák az oldalai és a szögei?
VÁLASZ:
A beírt négyszög által levágott háromszögek egybevágó derékszögű háromszögek. A befogók a négyzet oldalainak $begin mathsize 14px style fraction numerator p over denominator p plus q end fraction end style$ ,illetve $begin mathsize 14px style fraction numerator q over denominator p plus q end fraction end style$ része. Az átfogó a négyzet oldalának $begin mathsize 14px style fraction numerator square root of p squared plus q squared end root over denominator p plus q end fraction end style$ -szorosa. Így a beírt négyszög egyenlő oldalú, a szögei pedig derékszögek. Azaz a beírt négyszög is négyzet. Oldala az eredeti négyzet oldalának $begin mathsize 14px style fraction numerator square root of p squared plus q squared end root over denominator p plus q end fraction end style$ -szerese.
Mekkora második négyszög kerülete és területe?
VÁLASZ:
K₂= 4 ∙ $begin mathsize 14px style fraction numerator square root of p squared plus q squared end root over denominator p plus q end fraction end style$ egység és T₂ = $begin mathsize 14px style fraction numerator p squared plus q squared over denominator left parenthesis p plus q right parenthesis squared end fraction end style$ = $begin mathsize 14px style 5 over 8 end style$ területegység.
Van-e valamilyen kapcsolat a két négyszög megfelelő adatai között?
VÁLASZ:
Az új négyszögnégyzet, az oldala a megelőző négyzet oldalának $begin mathsize 14px style fraction numerator square root of p squared plus q squared end root over denominator p plus q end fraction end style$ -szorosa lesz. Így a kerületek aránya is $begin mathsize 14px style fraction numerator square root of p squared plus q squared end root over denominator p plus q end fraction end style$ , a területek aránya $begin mathsize 14px style fraction numerator p squared plus q squared over denominator left parenthesis p plus q right parenthesis squared end fraction end style$
Változna-e a kapcsolat, ha a kiinduló négyzet oldala nem egységnyi lenne?
VÁLASZ:
Változna. Amennyiben a kiinduló négyzet oldalhosszúsága a, az új oldalhossz és a kerület az a-szorosára, a terület a² – szeresére változna.