8. évfolyam: Négyzetben négyzet 2.

8. évfolyam

Négyzetben négyzet 2.

KERESÉS

Információ ehhez a munkalaphoz

Szükséges előismeret

Négyzet kerülete és területe.

Módszertani célkitűzés

Kijelöljük az ABCD négyzet AB oldalán az A-hoz közelebbi, BC oldalán a B-hez közelebbi, CD oldalán a C-hez közelebbi, DA oldalán a D-hez közelebbi harmadoló pontot. A feladat:

1. Annak észrevétele, majd bizonyítása, hogy a tekintett harmadoló pontok által meghatározott négyszög is négyzet.
2. Annak meghatározása, hogy a harmadoló pontok által meghatározott négyzet kerülete és területe hányad része az eredeti négyzet kerületének, illetve területének.

Az alkalmazás nehézségi szintje, tanárként

Könnyű, nem igényel külön készülést.

Módszertani megjegyzések, tanári szerep

Ez a tananyagegység frontális munkához és önálló munkához egyaránt használható. Kevésbé jó képességű csoportok esetén tanári vezetéssel javasolt feldolgozni. Amennyiben ezt a munkát választjuk, használjunk aktív táblát, és minél több kérdéssel vezessük végig a gyerekeket a felfedezés lépésein. A lényeg, hogy a diákok végig aktív szereplői legyenek a felfedezésnek és a bizonyításnak. Törekedjünk arra, hogy a szaknyelvet minél többször használják.

Továbbhaladási lehetőségek

Négyzetek egymásba skatulyázott sorozata.

Felhasználói leírás

A rajzlapon egy egységnyi oldalú ABCD négyzetet látsz. A beleírt új négyszöget úgy kaptuk, hogy AB oldalán az A-hoz közelebbi, BC oldalán a B-hez közelebbi, CD oldalán a C-hez közelebbi, DA oldalán a D-hez közelebbi negyedelő pont lett az új négyszög csúcsa. Mit tudsz mondani az új négyszögről, illetve oldalainak hosszáról? Hányad része az új négyszög kerülete, illetve területe a kiinduló négyzetének? Változtatna-e a dolgokon, ha a kiinduló négyzet nem egységoldalú lenne?

Tanácsok az interaktív alkalmazás használatához

A papíron kiszámolt értékeket 4 tizedesjegyre kerekítve is elfogadja a program. Amennyiben a pontos értéket szeretnénk beírni, a négyzetgyök megadása az sqrt() paranccsal történik.

Feladatok

Mekkora a kiinduló négyzet kerülete? (Az alkalmazás beviteli mezőibe történő tizedestört bevitelekor vessző helyet pontot kell írnod.)
VÁLASZ:
4 egység.
Mekkora a kiinduló négyzet területe?
VÁLASZ:
1 területegység.
Milyenek a „levágott” háromszögek, mekkorák az oldalai és a szögei?
VÁLASZ:
A beírt négyszög által levágott háromszögek egybevágó derékszögű háromszögek. Befogói a négyzet oldalainak $begin mathsize 14px style 1 fourth end style$ ,illetve $begin mathsize 14px style 3 over 4 end style$ része. Az átfogó a négyzet oldalának $begin mathsize 14px style fraction numerator square root of 10 over denominator 4 end fraction end style$ -szerese. Így a beírt négyszög egyenlő oldalú, a szögei pedig derékszögek. Azaz a beírt négyszög is négyzet. Oldala az eredeti négyzet oldalának $begin mathsize 14px style fraction numerator square root of 10 over denominator 4 end fraction end style$ -szerese.
Mekkora második négyszög kerülete és területe?
VÁLASZ:
K₂= 4 ∙ $begin mathsize 14px style fraction numerator square root of 10 over denominator 3 end fraction end style$ egység és T₂ = $begin mathsize 14px style 10 over 16 end style$ = $begin mathsize 14px style 5 over 8 end style$ területegység.
Van-e valamilyen kapcsolat a két négyszög megfelelő adatai között?
VÁLASZ:
Az új négyszög négyzet, az oldala a megelőző négyzet oldalának $begin mathsize 14px style fraction numerator square root of 10 over denominator 4 end fraction end style$ -szerese. A kerületek aránya $begin mathsize 14px style fraction numerator square root of 10 over denominator 4 end fraction end style$ , a területek aránya $begin mathsize 14px style 5 over 8 end style$ .
Változna-e a kapcsolat, ha a kiinduló négyzet oldala nem egységnyi lenne?
VÁLASZ:
Változna. Amennyiben a kiinduló négyzet oldalhosszúsága a, az új oldalhossz és a kerület az a-szorosára, a terület a² – szeresére változna.