GEOMATECH tananyagok

KERESÉS

Felhasználói leírás

Adott a háromszög belsejében az R pont. Az R pontot a háromszög csúcsaival összekötve az ACR, ABR, BCR háromszögeket kapjuk. 

Mozgasd az R pontot és közben figyeld a három részháromszög területének változását!

Tanácsok az interaktív alkalmazás használatához

Az R pont mozgatásával azt kell elérnünk, hogy az ABC háromszög területét három egyenlő területű részháromszögre bontsuk.

Feladatok

1. Keress olyan helyzetet, amikor az R pont három egyenlő területű háromszöget határoz meg!
2. Minden háromszög esetén van ilyen pont?
   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: Bármely háromszög esetén létezik ilyen pont.
3. Hány ilyen pont van egy háromszögön belül?
   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: Csak egy.
4. Bizonyítsd, hogy csak egy ilyen pont van.
   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: Ennek bizonyítása indirekt módon történhet. Tegyük fel, hogy van még ilyen pont.
   Ennek a feltételezett pontnak az RA, RB, RC szakaszok valamelyikén kell lennie, vagy valamelyik részháromszög belsejében. Vizsgáljuk az ACR háromszöget. Ha lenne az R ponton kívül még egy olyan P pont, ami harmadolja a háromszög területét, akkor az vagy az RA szakasz belső pontja, vagy az RC szakasz belső pontja, vagy az ACR háromszögbelső pontja lehet. Ha P az RA szakasz belső pontja lenne, akkor a BCP háromszög területe nagyobb lenne, mint a BCR háromszög területe, ami az ABC háromszög területének a harmada, tehát az RA belső pontja nem lehet ilyen tulajdonságú. Hasonlóan az RC szakasz belső pontja sem lehet, mert ekkor ABP háromszög területe nagyobb lenne, mint az ABR háromszög területe, ami az ABC háromszög területének harmada. Ha a P az ACR háromszög belső pontja lenne, akkor az ACP háromszög területe kisebb lenne, mint az ACR háromszög területe, ami viszont az ABC háromszög területének harmada. Így egy ilyen további P pont nem lehet az ACR háromszög pontja. Hasonlóan látható be, hogy a másik két háromszögben sem lehet ilyen további P pontot találni.