8. évfolyam
Két folyón egy-egy híd
Információ ehhez a munkalaphoz
Szükséges előismeret
Egybevágósági transzformációk (eltolás, távolságtartás), a Híd a folyón feladatban szerzett tapasztalatok.
Módszertani célkitűzés
Egy életszerű problémán keresztül mutatjuk meg a matematikai modellalkotást, mint hatékony eszközt a megoldáshoz. Felhasználjuk az alapvető geometriai ismereteket, és egybevágósági transzformációt alkalmazunk. Ez a probléma versenyfelkészítésre, illetve annak megalapozására is kiválóan alkalmas, ugyanis tipikusan olyan geometria példa, ahol valamilyen geometriai transzformáció juttat el legrövidebb úton a megoldáshoz. Továbbá újabb példát mutatunk a megszerzett tapasztalatok alkalmazására, továbbgondolására.
Az alkalmazás nehézségi szintje, tanárként
Nehéz.
Felhasználói leírás
Sokszor megfigyelhetjük, hogy a gyepet kitapossák az emberek, mert a rövidebb úton akarnak haladni. Tervezzünk úgy, hogy már eleve a legrövidebb utat építjük ki számukra!
Két – a térképen A, illetve F pontként látható – város közt keressük a lehető legrövidebb utat. A folyók felett hidat építünk, a párhuzamos partokra merőlegesen. Azt sajnos nem tudjuk, hogy a térképen nem látható területeken hogyan folynak a folyók, tehát csak az ismert területen dolgozhatunk. Hová kell építenünk a hidakat?
Tanácsok az interaktív alkalmazás használatához
- A file megnyitásakor egy térképet és néhány utat látunk a probléma felvezetéseként. A városok helye változtatható. A csúszka 1. szintre mozgatásával a segédanyag dinamikusan változtathatóvá válik.
- A 2. szinten már csak egy utat látunk, de a hidak pozíciója a kijelölt pontoknál változtatható. Kiírjuk az út hosszát szakaszonként.
- A 3. szinten animáció segíti annak átlátását, hogy mely szakaszok felelnek meg egymásnak, vagyis cseréjük az út hosszát nem változtatja meg.
- A 4. szinten megadtuk a legrövidebb utat. Kezdetben ennek hosszát láthatjuk. A „fekete” úton módosíthatók a hidak pozíciói. A módosítás hatására a színe narancssárgára vált, és ekkor már ennek az útnak a hosszát olvashatjuk le a megfelelő helyen.
- Az 5. szinten a bizonyításhoz rajzoltuk meg a kész ábrát.
Feladat
- Válaszd a segítség első szintjét! A véletlenszerűen elhelyezett utak közül vajon melyik lehet a legrövidebb? Mit gondolsz? A sejtésed helyességét ellenőrizheted. Ha a kék pontra kattintasz a folyó partján, megmutatjuk az adott út hosszát.
- Válaszd a segítség második szintjét! Figyeld meg, hogyan változik az út hossza, ha a hidak helyét módosítod! Erre a kék négyzettel jelölt pontok mozgatásával van lehetőséged. Az út mely szakaszainak hossza marad változatlan ilyenkor is? (VÁLASZ: A hidak hossza a változatlan.)
- Ha kihagynánk azt a feltételt, hogy a hidak merőlegesek legyenek a partokra, akkor hogyan rajzolnád be a legrövidebb utat?
VÁLASZ:Egy egyenes szakasszal kötnénk össze a két várost.
- Hogyan használhatjuk fel a Híd a folyón című tananyagegységben szerzett tapasztalatokat a probléma megoldására? (Abban a tananyagegységben az egy folyóval elválasztott városok közti legrövidebb utat kerestük.)
VÁLASZ:Tudjuk, hogy a hidak hosszát mindenképpen tartalmazza az út. Az eltolás miatt kialakult paralelogramma megfelelő oldalai egyenlők. Alkalmazzuk ezt mindkét városnál.
- Hogyan mutathatjuk meg, hogy ez valóban a lehető legrövidebb olyan út, amely megfelel a feltételeinknek? Ha van sejtésed, amit igazolnál, vagy az ötlethez segítségre lenne szükséged, válaszd a 3. majd a 4. szintet a csúszkán!
VÁLASZ:Az eltolás miatt a megfelelő szakaszok egyenlők. Két pont közt a legrövidebb út az egyenes szakasz.