8. évfolyam
Híd a folyón
Információ ehhez a munkalaphoz
Szükséges előismeret
Egybevágósági transzformációk (eltolás, távolságtartás).
Módszertani célkitűzés
Egy életszerű problémán keresztül mutatjuk meg a matematikai modellalkotást, mint hatékony eszközt a megoldáshoz. Felhasználjuk az alapvető geometriai ismereteket és egybevágósági transzformációt alkalmazunk. Ez a probléma versenyfelkészítésre, illetve annak megalapozására is kiválóan alkalmas, ugyanis tipikusan olyan geometriai példa, ahol valamilyen geometriai transzformáció juttat el legrövidebb úton a megoldáshoz.
Az alkalmazás nehézségi szintje, tanárként
Közepes.
Felhasználói leírás
Sokszor megfigyelhetjük, hogy a gyepet kitapossák az emberek, mert a rövidebb úton akarnak haladni. Tervezzünk úgy, hogy már eleve a legrövidebb utat építjük ki számukra.
Két, a térképen A, illetve D pontként látható város közt keressük meg a lehető legrövidebb utat! A folyó felett hidat építünk, a párhuzamos partokra merőlegesen. Azt sajnos nem tudjuk, hogy a térképen nem látható területeken hogyan folyik a folyó, tehát csak az ismert területen dolgozhatunk. Hová kell építenünk a hidat?
Tanácsok az interaktív alkalmazás használatához
- Az alkalmazás megnyitásakor egy térképet és néhány utat látunk a probléma felvezetéseként. A két város elhelyezését szabadon megválaszthatjuk a 0. szinten, később már nem.
- A csúszka 1. szintre mozgatásával a segédanyag dinamikusan változtathatóvá válik.
- A 2. szinten már csak egy utat látunk, de a híd pozíciója a kijelölt pontnál változtatható.
Kiírjuk az út hosszát szakaszonként. - A 3. szinten animáció segíti annak átlátását, hogy mely szakaszok felelnek meg egymásnak, vagyis cseréjük az út hosszát nem változtatja meg.
- A 4. szinten a bizonyításhoz rajzoltuk meg a kész ábrát.
Feladatok
- Válaszd a segítség első szintjét! A véletlenszerűen elhelyezett utak közül vajon melyik lehet a legrövidebb? Mit gondolsz? A sejtésed helyességét ellenőrizheted. Ha a kék pontra kattintasz a folyó partján, megmutatjuk az adott út hosszát.
- Válaszd a segítség második szintjét! Figyeld meg, hogyan változik az út hossza, ha a híd helyét módosítod! Erre a kék körrel jelölt pont mozgatásával van lehetőséged. Az út mely szakaszainak hossza marad ugyanannyi ilyenkor is?
VÁLASZ:A híd hossza a változatlan.
- Ha kihagynád azt a feltételt, hogy a híd merőleges legyen a partra, vagy nem választaná el folyó a két helységet, akkor hogyan rajzolnád be a legrövidebb utat?
VÁLASZ:Egy egyenes szakasszal kötnénk össze a két várost.
- Hogyan mutathatod meg egy a folyópartokra merőleges hídon áthaladó útról, hogy ez valóban a lehető legrövidebb olyan út, mely megfelel a feltételeinknek? Ha van sejtésed, amit igazolnál, vagy az ötlethez segítségre lenne szükséged, válaszd a 3. majd a 4. szintet a csúszkán!
VÁLASZ:Az eltolás miatt a megfelelő szakaszok egyenlők. Két pont közt a legrövidebb út az egyenes szakasz.