12. évfolyam: Határozott integrál Monte-Carlo módszerrel 2

12. évfolyam

Határozott integrál Monte-Carlo módszerrel 2

KERESÉS

Információ ehhez a munkalaphoz

Szükséges előismeret

Határozott integrál, geometriai valószínűség.

Módszertani célkitűzés

Szabálytalan síkidomok területének becslésének szemléltetése valószínűségszámítási módszerrel.

Az alkalmazás nehézségi szintje, tanárként

Könnyű (nem igényel külön készülést).

Felhasználói leírás

Az $begin mathsize 14px style f left parenthesis x right parenthesis equals square root of x semicolon space x element of open square brackets 0 semicolon 5 close square brackets end style$ függvény határozott integráljának közelítő meghatározása Monte-Carlo módszerrel különböző intervallumokon.

Feladatok

A pontok számának növelésével juss el 1000 pontig, és foglald össze, mit tapasztalsz!

INFORMÁCIÓ

A jobb oldali koordináta rendszerben a határozott integrál közelítő értéke látható. Adjunk lehetőséget arra, saját szavaikkal fogalmazzák meg a tapasztalataikat.
Mekkora a valószínűsége annak, egy pont a függvény grafikonja és az x tengely közti területre esik, azaz belső pont? (A grafikonra eső pontok is legyenek belső pontok.)

INFORMÁCIÓ
A geometriai valószínűség esetén egy véletlen kísérlet elemi eseményeit egy geometriai alakzat pontjainak kiválasztásával modellezzük. Annak valószínűsége, hogy egy pont egy adott geometriai alakzatba esik, arányos az alakzat területével. Jelen esetben: $P left parenthesis b e l s ő space p o n t right parenthesis equals fraction numerator g ö r b e space a l a t t i space t e r ü l e t over denominator t é g l a l a p space t e r ü l e t e end fraction$
Milyen kapcsolat lehet a görbe alatti terület és az x_kezdő és x_záró értékek, valamint a hozzájuk rendelt függvényértékek közül a nagyobb által meghatározott téglalap területe között? A két függvényérték közül miért a nagyobbat válasszuk?
INFORMÁCIÓ

A görbe alatti terület közelítő értéke a $k over n T$ lesz, ahol T az x_kezdő és x_záró értékek valamint általuk meghatározott intervallumon felvett maximumérték által meghatározott téglalap területe, k a görbe alatti területbe eső pontok száma; n a téglalapba szórt pontok száma. Segítségként használhatjuk a „Görbe alatti terület” jelölőnégyzetet. Azért választjuk az x_kezdő és x_záróhelyeken felvett függvényértékek közül a nagyobbat, mert a függvény tulajdonságai miatt ez az intervallumon felvett maximum.