12. évfolyam
Egyoldalú hipotézisvizsgálat 2
Információ ehhez a munkalaphoz
Szükséges előismeret
Binomiális eloszlás. Szignifikanciaszint.
Módszertani célkitűzés
A hipotézis-vizsgálat gondolkodásmódjának kialakítása, a szignifikancia fogalmának gyakorlása.
Az alkalmazás nehézségi szintje, tanárként
Nehéz (érdemes előre megismerni a teljes anyagot)
Felhasználói leírás
A budapesti tömegközlekedési eszközökön az ellenőröknek megadott számú utast kell ellenőrizniük. Érvényes menetjegy nélkül utazók (bliccelők) mindig előfordulnak, rájuk büntetést szabnak ki. A korábbi tapasztalatok alapján meghatározható, hogy ha az ellenőr az előírások szerint dolgozik, akkor várhatóan hány bliccelőt büntet meg. Ha a vártnál jóval kevesebbet, akkor korrupcióra vagy munkakerülésre lehet gyanakodni.
Tételezzük fel, hogy az utasok 10%-a bliccel és naponta 800 utast kell megvizsgálnia a jegyellenőrnek. Egy jegyellenőr munkáját az egy nap alatt megbüntetett utasok számával akarja ellenőrizni a főnöke. Legalább hány büntetés várható el, ha a szignifikanciaszint 5%-os? Másképpen: Legalább hány büntetést kell kirónia az ellenőrnek, hogy (legfeljebb) 5% legyen annak a valószínűsége, hogy hibát követünk el az ellenőr elmarasztalásával: vagyis az ellenőr az elvárások szerint dolgozott, mi mégis gyanakszunk a munkájára.
Tanácsok az interaktív alkalmazás használatához
Az Alkalmazás a kezdeti állapotban kirajzolja a B(800; 0,1) paraméterű binomiális eloszlás diagramját (az n paraméter változtatható), amelyen beállítható az intervallum alsó határa és kiszámolja az ehhez tartozó valószínűséget. Adott valószínűséghez meghatározza azt az intervallumot, amelybe a nullák száma az adott valószínűséggel beleesik. A „Nagyítás” csúszkával közelíthető az ábra, továbbá a Nagyítás alatti csúszkával (a kék háromszöggel) az eloszlás bármely része megjeleníthető.
Feladatok
1. Feladat
a) A bliccelők száma milyen eloszlást követ?
b) Határozd meg az eloszlás paramétereit (utasok száma, bliccelés valószínűsége)!
c) Összesen hány bliccelőre lehet számítani a 800 ellenőrzés során?
INFORMÁCIÓ
a) Binomiális eloszlást követ.
b) n =800, p = 0,1.
c) Körülbelül 80-ra.
2. Olvasd le a diagramról, hogy mekkora annak a valószínűsége, hogy a megvizsgált utasok között legalább 90-nek nincs érvényes jegye (a bliccelők számát az „a” jelű mozgatható ponttal állítsd 90-re)!
INFORMÁCIÓ
kb. 0,132
3. Mekkora annak a valószínűsége, hogy a megvizsgált utasok között legalább 60-nak nincs érvényes jegye?
INFORMÁCIÓ
kb. 0,994
4. Fogalmazz meg egy olyan eseményt a 800 jegyvizsgálattal kapcsolatban, amelynek a valószínűsége 0,8 vagy annál nagyobb (az „a” jelű pont mozgatásával kísérletezz)!
INFORMÁCIÓ
Például: a 800 vizsgálat során legalább 73 (legalább 72, legalább 71, …) esetben érvényes jegy nélküli utast talált az ellenőr.
5. A számegyenesen az „a” jelű mozgatható pontot állítsd be úgy, hogy a valószínűség legalább 0,95 legyen! Legalább mennyi ekkor a bliccelők száma?
INFORMÁCIÓ
Legalább 66.
6. A megoldást az alábbi módon is megkaphatod: A Valószínűség(P) beviteli mezőbe írd be, hogy 0.95 és olvasd le, hogy a mintában legalább mennyi a bliccelők száma 95% valószínűséggel. Mennyi?
INFORMÁCIÓ
Legalább 66.
Ha egy 800 elemű mintát veszünk, akkor bliccelők száma (legalább) 95% valószínűséggel legalább 66 és csak (legfeljebb) 5% annak a valószínűsége, hogy ennél kevesebb. (Ha nagyon sok 800 elemű mintát veszünk, akkor várhatóan az esetek 95%-ában a bliccelők száma legalább 66 és az esetek 5%-ában kevesebb.)
Ha a mintában a bliccelők száma legalább 66, akkor elfogadhatjuk azt az állítást, hogy az ellenőr megfelelően végezte a munkáját, ha pedig kevesebb, akkor nem fogadjuk el.
Ha a mintában a bliccelők száma 66-nál kisebb, akkor már jelentős (szignifikáns) a negatív irányú eltérés a várhatóhoz (80-hoz) képest és nem tekintjük véletlennek.
A szignifikancia MINDIG NEGATÍV tartalmú és a hipotézis elvetését vonja maga után (ha az eltérés szignifikáns, akkor a kiinduló feltevésünket elvetjük). Ha nem szignifikáns, akkor hihető (de természetesen nem bizonyított) a feltevésünk.
Ha valamit „statisztikailag bizonyítani” akarunk, akkor az ellentettjét kell hipotézisként feltenni és megpróbálni szignifikáns mintát találni. Ez a technikája ezeknek a statisztikai teszteknek.
Ha feltételezzük, hogy az utasok 10%-a bliccel és 800 utast vizsgál az ellenőr, akkor várhatóan 80-at büntet meg. Esetünkben a hipotézis az, hogy az ellenőr az elvárásoknak megfelelően dolgozik. Ha a ténylegesen kirótt büntetések száma a 80-tól túlságosan eltér negatív irányba, akkor a hipotézist elvetjük. A kapott eredmények alapján elmondható, hogy ha a ténylegesen kirótt büntetések száma
66-nál kevesebb, akkor az eltérés szignifikáns (tényleges), vagyis a minta alapján 5%-os szignifikanciaszinten a hipotézis nem fogadható el.
Ez azt jelenti, hogyha az ellenőr megfelelően dolgozik, akkor 0,05 annak a valószínűsége, hogy mégis gyanakszunk a munkájára.
Ugyanakkor, ha a ténylegesen kirótt büntetések száma legalább 66, akkor nem állíthatjuk, hogy az elvárásoknak megfelelően dolgozik az ellenőr, csupán annyit, hogy a minta alapján nem kell gyanakodnunk.
7. A számegyenesen lévő fekete háromszög és minta elemszámának beállításával vizsgáld meg, hogy más intervallumba milyen valószínűséggel esik a bliccelők száma?
8. Változtasd meg a vizsgált utasok számát és adj meg magadnak különböző szignifiakanciaszinteket (pl. 2%, 6%, 10%)! Fogalmazd meg, hogy az adott beállítások esetén mikor marasztalnád el az ellenőrt? (A bliccelők arányát mindvégig 10%-nak fogadod el akkor, amikor érvelsz a döntésed mellett.)