GEOMATECH tananyagok

KERESÉS

Felhasználói leírás

A magyar kártya 32 lapból áll. Van négy szín (piros, tök, zöld, makk), és minden színből van négy szám és négy figura (VII, VIII, IX, X, alsó, felső, király, ász).

Tanácsok az interaktív alkalmazás használatához

Az ágak végén az oda vezető úton lévő események együttes bekövetkezésének valószínűsége látható. A „Számítás másképp” bepipálásával megjeleníthető a valószínűségek klasszikus képlettel történő (egyik) kiszámítási módja.

A gráf a húzások eredményét és valószínűségét mutatja.
A bal oldali első elágazás az első húzást szemlélteti: a piros ág jelenti azt, hogy az első húzás ász, a zöld ág jelenti azt, hogy az első húzás figura, de nem ász, a sárga ág jelenti azt, hogy az első húzás szám.
Az első húzás után a második elágazások a második húzást mutatják. Mindhárom esetben (akár ász az első húzás, akár figura, de nem ász, akár szám) két kimenetel lehetséges: a piros ág jelenti azt, hogy a második húzás ász, a kék ág jelenti azt, hogy a második húzás nem ász.
Az ágakon az adott esemény bekövetkezésének valószínűségét látod.

Feladatok

1. Egy kártyaosztásnál egy csomag (32 darab) magyar kártyából két lapot húzunk egymás után.
   a) Mekkora a valószínűsége, hogy húzunk ászt?
   b) Mekkora a valószínűsége, hogy húzunk ászt, feltéve, hogy az első húzás szám?
2. Mekkora a valószínűsége, hogy 
   a) az első kihúzott lap ász?
   b) az első kihúzott lap figura, de nem ász?
   c) az első kihúzott lap szám?
   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: a) $\frac{4}{32}$ b) $\frac{12}{32}$ c) $\frac{16}{32}$
    

3. Elsőre ászt húztunk. Mekkora a valószínűsége, hogy
   a) a második kihúzott lap is ász?
   b) a második kihúzott lap nem ász?

   (Vegyük észre, hogy ezek tulajdonképpen feltételes valószínűségek!)

   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: a) $\frac{3}{31}$ b) $\frac{8}{31}$
    

4. Elsőre figurát húztunk, de nem ászt. Mekkora a valószínűsége, hogy
   a) a második kihúzott lap ász?
   b) a második kihúzott lap nem ász?
   (Vegyük észre, hogy ezek tulajdonképpen feltételes valószínűségek!)

   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: a) $\frac{4}{31}$ b) $\frac{27}{31}$
    

5. Elsőre egy számot húztunk. Mekkora a valószínűsége, hogy 
   a) a második kihúzott lap ász?
   b) a második kihúzott lap nem ász?
   (Vegyük észre, hogy ezek tulajdonképpen feltételes valószínűségek!)

   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: a) $\frac{4}{31}$ b) $\frac{27}{31}$
    

6. Az Alkalmazás alapján válaszolj az alábbi kérdésekre! Mekkora a valószínűsége, hogy 
   a) mindkét húzás ász?
   b) az első húzás ász, de a második húzás nem ász?
   c) az első húzás nem ász, de a második húzás ász?
   d) mindkét húzás nem ász?

   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: a) $\frac{4}{32}\cdot \frac{3}{31}$ b) $\frac{4}{32}\cdot \frac{28}{31}$ c) $\frac{12}{32}\cdot\frac{4}{31}+\frac{16}{32}\cdot\frac{4}{31}   (=\frac{28}{32}\cdot\frac{4}{31}  )$ d) $\frac{12}{32}\cdot\frac{27}{31}+\frac{16}{32}\cdot\frac{27}{31}   (=\frac{28}{32}\cdot\frac{27}{31}  )$

7. Az Alkalmazás eredményeit felhasználva mekkora a valószínűsége, hogy húzunk ászt?
   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: $\frac{4}{32}\cdot \frac{3}{31} +\frac{4}{32}\cdot\frac{28}{31}+\frac{12}{32}\cdot\frac{4}{31}+\frac{16}{32}\cdot\frac{4}{31}=\frac{59}{248}$ Komplementer eseménnyel számolva: $1-\frac{12}{32}\cdot\frac{27}{31}-\frac{16}{32}\cdot\frac{27}{31}$

8. Korábbi tanulmányaid alapján hogyan számolnád ki, hogy a 32 lapból kettőt kihúzva mekkora annak a valószínűsége, hogy

   a) mindkét lap ász;
   b) pontosan az egyik lap ász;
   c) egyik lap sem ász?
   d) húzunk ászt?

   INFORMÁCIÓ

   Megoldás:

   A klasszikus képletet (vagy a hipergeometrikus eloszlást) használva (zárójelben azt a megoldást is megadjuk, amelyben a kihúzott lapok sorrendjére is figyelünk):

   a)  $\frac{\binom{4}{2}\cdot\binom{28}{0}  }{\binom{32}{2} } (=\frac{4\cdot3}{32\cdot31}=\frac{3}{248}  )$

   b)  $\frac{\binom{4}{1}\cdot\binom{28}{1}  }{\binom{32}{2} } (=\frac{4\cdot28+12\cdot4+16\cdot4}{32\cdot31}=\frac{56}{248}  )$

   c)  $\frac{\binom{4}{0}\cdot\binom{28}{2}  }{\binom{32}{2} } (=\frac{12\cdot27+16\cdot27}{32\cdot31}=\frac{189}{248}  )$

   d)  $\frac{\binom{4}{0}\cdot\binom{28}{2}+\binom{4}{1}\cdot\binom{28}{1}    }{\binom{32}{2} } =1-\frac{\binom{4}{0}\cdot\binom{28}{1}  }{\binom{32}{2} } (=\frac{4\cdot3+4\cdot28+12\cdot4+16\cdot4}{32\cdot31}=\frac{59}{248}  )$
    

9. Pipáld be a „Számítás másképp”-et és figyeld meg az összefüggést!
   INFORMÁCIÓ

   Megoldás: A valószínűség kiszámítása – a korábban tanult kombinációkkal történő kiszámítás helyett – egyszerűbben is elvégezhető törtek közötti műveletek használatával.

10. Mekkora a valószínűsége, hogy 
    a) az első húzás szám, de a második húzás ász?
    b) húzunk ászt, feltéve, hogy az első húzás szám?

    INFORMÁCIÓ

    Megoldás: a) A valószínűség leolvasható az Alkalmazásról: $\frac{16}{32}\cdot\frac{4}{31}=\frac{2}{31}$  b) A feltételes valószínűség képletének használata nélkül az ábrán látható, hogy ha az első húzás szám, akkor az alsó $\frac{16}{32}$ -  valószínűségű - sárga ág bekövetkezik, tehát elég vizsgálni az ebből induló piros ágat. Így a kérdésre a válasz $\frac{4}{31}$