11. évfolyam: Szimmetrikus bolyongás 2

11. évfolyam

Szimmetrikus bolyongás 2

KERESÉS

Információ ehhez a munkalaphoz

Szükséges előismeret

Binomiális eloszlás

Módszertani célkitűzés

Láttatni, hogy a szimmetrikus bolyongás bár az x tengelyt sokszor metszi (körülötte bolyong), mégis akármilyen messzire eltávolodhat tőle.

Az alkalmazás nehézségi szintje, tanárként

Közepes.

Felhasználói leírás

Egy bolha a koordinátasík origójában van. Egy jelre véletlenszerűen ugrik, minden egyes ugrásával vagy „lefelé” az (1;-1) vektorral, vagy„felfelé” az (1;1) vektorral mozdul el (tehát vagy „1-et jobbra és 1-et le”, vagy „1-et jobbra és 1-et fel”). Mindkét irányba ugyanolyan valószínűséggel ugrik. Ha eddig 10-szer ugrott a bolha, akkor

hol lehet?
mekkora valószínűséggel lesz a (10;-10) pontban?

VÁLASZ:

Lehet a (10;10) pontban vagy a (10;-10) pontban, ha mindig „felfelé” vagy mindig „lefelé” ugrik; lehet a (10;8) vagy a (10;-8) pontban, ha 9-szer az egyik és 1-szer a másik irányba ugrik (9-szer „felfelé” és 1-szer „lefelé” vagy fordítva).
Hasonlóan végiggondolható, hogy 10 ugrás után csak olyan pontban lehet a bolha, amelynek első koordinátája 10, a második koordinátája pedig olyan páros egész szám, amelynek az abszolút értéke legfeljebb 10.
Csak akkor ér a pontba, ha mindig „lefelé” ugrik. Ennek a valószínűsége ( $\frac{1}{2}$ )¹⁰= $\frac{1}{1024}$ .

Egy bolha a koordinátasík origójából indulva 500-szor ugrik, minden ugrásnál „lefelé” vagy „felfelé”. A „lefelé” ugrás az (1;-1) vektorral való elmozdulást jelenti, a „felfelé” ugrás pedig az (1;1) vektorral való elmozdulást. A „lefelé” ugrás valószínűsége 0,53.
Ábrázoljuk a bolha elhelyezkedését az ugrások számának függvényében!
Figyeld meg a bolha útját! Az

gomb megnyomásával indítsd el újra a bolhát!

EMBED

Kérdések, megjegyzések, feladatok

TOVÁBBHALADÁSI LEHETŐSÉGEK
aszimmetrikus bolyongás
KAPCSOLÓDÓ ÉRDEKESSÉGEK
Ha minden rácspontra (egész koordinátájú pontokra) ráírnánk, hogy a bolha hányféleképpen tud ahhoz a ponthoz eljutni, akkor a 0 értékektől eltekintve éppen egy fektetett Pascal-háromszöget kapnánk.

FELADAT
Merre „bolyong” a bolha?
Mekkora távolságra jut el a vízszintes tengelytől?
VÁLASZ:
Ezt a jelenséget bolyongásnak nevezzük. Mivel mindkét irányba ugyanolyan valószínűséggel ugrik a bolha, ezért szimmetrikus bolyongásnak nevezzük.
Az alkalmazás segítségével legfeljebb 10000 ugrásig követhető a bolha útja, de természetesen bármeddig (akár a végtelenségig) ugorhat.
A (végtelen) szimmetrikus bolyongás rendelkezik két fontos, érdekes tulajdonsággal:
1. A bolha a tengelytől akármennyire „eltávolodhat”. Pontosabban 1 valószínűséggel tetszőlegesen nagy távolságra juthat tőle. (Vigyázzunk! Ha a lehetséges kimenetelek száma nem véges, akkor az 1 valószínűségű esemény nem azonos a biztos eseménnyel.)
2. Bár a bolha az 1) tulajdonság miatt tetszőlegesen messzire elbolyonghat, de 1 valószínűséggel „visszatér” a tengelyre. (Ez természetesen nem azt jelenti, hogy biztosan visszatér.)
FELADAT
Pipáld be a „Metszéspontok mutatása” lehetőséget! Hányszor volt a vízszintes tengelytől 10 távolságra?

VÁLASZ:
Az alkalmazás segítségével megvizsgálható, hogy a bolha „tetszőleges távolságra” eltávolodhat a tengelytől.
(Nyilvánvalóan az ugrások száma korlátoz abban, hogy ezt ténylegesen lássuk, de sok ugrássorozat megvizsgálásával szemléltethető, hogy vannak olyan esetek, amikor „nagyon elugrál”.)
A Metszéspontok mutatásának bepipálásával minden ugrássorozat esetén látható, hogy hányszor és mely ugrásoknál tér el a tengelytől a megadott távolsággal a bolha.
FELADAT
Állítsd át az ugrások számát (n)! Vizsgáld meg a bolha útját és a metszéspontok számát, ha nem 500-at, hanem többet ugrik a bolha!
VÁLASZ:
Ha az ugrások számát növeljük, akkor az adott távolságra való „elugrálások” száma is várhatóan több, illetve a tengelytől vett távolságok is nagyobb értékeket mutathatnak.
FELADAT
A Beállítás gomb megnyomása után beállíthatod a tengelytől vett távolságot. A csúszka beállítása után nyomd meg a Beállít gombot és vizsgáld meg a bolha útját!