GEOMATECH tananyagok

KERESÉS

Felhasználói leírás

Határozzuk meg, hogy a 10 cm sugarú gömbbe írt forgáshengerek közül azt, amelyik palástjának legnagyobb a területe! Mekkora ez a terület?

EMBED

Kérdések, megjegyzések, feladatok

1. FELADAT
   Az ábra alapján fejezzük ki a gömbbe írt henger térfogatát r függvényeként, ahol r a henger alapkörének sugara, R a gömb sugara!
   
   VÁLASZ:

   Pithagorasz-tétel: r²+$\frac{m^2}{4}$=R², ahonnan: m=2$\cdot$$\sqrt[]{R^2-r^2}$
   P(r)=2$\cdot$π$\cdot$r$\cdot$m=4$\cdot$π$\cdot$r$\cdot$$\sqrt[]{R^2-r^2}$
   Ha R = 10; akkor
   P(r)=4$\cdot$π$\cdot$r$\cdot$$\sqrt[]{100-r^2}$, ahol 0 < r < 10.
2. FELADAT
   Az ábrán a f(x)=4$\cdot$π$\cdot$x$\cdot$$\sqrt[]{R^2-x^2}$ függvény grafikonja látható.
   Olvasd le a szélsőérték helyét és értékét!
   
   VÁLASZ:

   (7,06; 628,32)
3. FELADAT
   Határozd meg számítással is a szélsőérték helyét és értékét!
   VÁLASZ:

   f'(x)=4π( $\sqrt[]{100-x^2}$ - $\frac{x^3}{\sqrt{100-x^2} }$ ))
   f'(x)=0
   100-2x²=0
   x=$\sqrt[]{50}$=5$\sqrt[]{2}$ ≈ 7,07
   f(x) függvény konkáv, mivel második deriváltja negatív x=$\sqrt[]{50}$ helyen, mely a „második derivált” funkcióval ellenőrizhető.
   Így lokális maximuma van az első derivált zérushelyénél. P_max=200π ≈ 628,32