GEOMATECH tananyagok

KERESÉS

Felhasználói leírás

Határozzuk meg, hogy a 10 cm sugarú gömbbe írt forgáshengerek közül melyiknek a legnagyobb a térfogata!

EMBED

Kérdések, megjegyzések, feladatok

1. FELADAT
   Az ábra alapján fejezzük ki a gömbbe írt henger térfogatát r és R függvényeként, ahol a r henger alapkörének sugara, R a gömb sugara!
   
   VÁLASZ:

   Pithagorasz tételével:
   r²+$\frac{m^2}{4}$=R² ahonnan m=2$\cdot$$\sqrt[]{R^2-r^2}$
   V=r²$\cdot$π$\cdot$m=2$\cdot$π$\cdot$r²$\cdot$$\sqrt[]{R^2-r^2}$ Ha R = 10, akkor V(r)=2$\cdot$π$\cdot$r²$\cdot$$\sqrt[]{100-r^2}$, ahol 0 < r < 10
2. FELADAT
   Az ábrán a f(x)=2$\cdot$π$\cdot$x²$\cdot$$\sqrt[]{100-r^2}$ ahol 0 < x < 10 függvény grafikonja látható.
   Olvasd le, mely x érték esetén van a szélsőértéke a f(x) függvénynek, és add meg a szélsőérték értékét!
   
   VÁLASZ:

   A maximális érték: (8,2; 2418,48).
   A leolvasható maximális érték: (8,17; 2418,38).
3. FELADAT
   Számítással is határozd meg a szélsőérték helyét és értékét!
   
   VÁLASZ:

   f'(x)=2π(2x$\sqrt[]{100-r^2}$- $\frac{x^3}{\sqrt{100-x^2} }$ )
   f'(x)=0
   200x-3x³=0
   f'(x) ]0;10] intervallumba eső zérushelye: x=$\sqrt{\frac{200}{3} }$=10$\cdot$$\sqrt{\frac{2}{3} }\ $ ≈ 8,16
   V(r) függvény konkáv, mivel második deriváltja negatív az r=$\sqrt{\frac{200}{3} }$=10$\cdot$$\sqrt{\frac{2}{3} }\ $ helyen, mely a „második derivált” funkcióval ellenőrizhető.
   Így lokális maximuma van az első derivált zérushelyénél.
   V_max= $\frac{400π}{3}$$\cdot$$\sqrt{\frac{100}{3} }$ ≈ 2418,4