GEOMATECH tananyagok

KERESÉS

Felhasználói leírás

Egy 10 x 20 cm oldalhosszú téglalap alakú kartonlap sarkaiból négyzeteket vágunk ki, és a kartonlapból nyitott tetejű dobozt készítünk.
Legyen az ábra alapján: a = 10 cm, és b = 20 cm.

EMBED

Kérdések, megjegyzések, feladatok

1. FELADAT
   Jelöljük x-szel a sarkokból kivágott négyzetek oldalának a hosszát, majd határozzuk meg a doboz térfogatát az x függvényében!
   V=(10-2x)$\cdot$(20-2x)$\cdot$x
   V(x)=4x³=60x²+200x
   ahol 0 < x < 5
2. FELADAT
   Az ábrán az f(x)=4x³-60x²+200x függvény látható. Mi a függvény értelmezési tartománya és értékkészlete?
   
   VÁLASZ:

   Értelmezési tartomány a feladat adatait figyelembe véve ]0; 5[
   Értékkészlet: ]0;192,45[
3. FELADAT
   Mekkorára válasszuk x-et, hogy a doboz térfogata 96 köbcentiméter legyen?
   
   VÁLASZ:

   Az ábráról leolvasható (4; 96) vagy (0,58; 96,75)
4. FELADAT
   A leolvasott (0,58; 96,75) érték közelítő érték. Határozzuk meg négy tizedes jegy pontossággal x-et, melyre a függvényérték két tizedesjegy pontossággal 96!
   Az első közelítést leolvastuk az ábráról, innen további behelyettesítésekkel:
   (0,57; 95,25)
   (0,575; 95,92)
   (0,576; 96,06)
   (0,5755; 95,99)
   (0,5756; 96)
5. FELADAT
   Milyen x-re lesz a doboz térfogata a legnagyobb?
   (2,11; 192,45) az ábráról leolvasható maximum.
   A pontos érték differenciálszámítással is megkapható. A függvénynek lokális szélsőértéke van az első derivált zérushelyénél, amennyiben a második derivált nem nulla.
   V'(x)=12x²-120x+200
   12x²-120x+200=0
   x=$\frac{15-5\sqrt{3} }{3}$ ≈ 2,11
   A másodfokú egyenlet másik gyöke nem eleme az értelmezési tartománynak.
   V''(x)=24x-120
   Mivel V''(x=$\frac{15-5\sqrt{3} }{3}$) < 0
   Vmax=$\frac{1000}{9}$$\cdot$$\sqrt[]{3}$ ≈ 192,45