GEOMATECH tananyagok

KERESÉS

Felhasználói leírás

Egy szabályos ötszög oldala és az oldalak felezőpontjai által meghatározott sokszögek oldalai milyen sorozatot alkotnak?
Mit mondhatunk erről a sorozatról monotonitás szempontjából?

EMBED

Kérdések, megjegyzések, feladatok

1. FELADAT
   Kezdjük a szabályos ötszöggel.
   Az n=1 jelentse a kiinduló ötszöget, melynek oldala egységnyi.
   n=2 legyen olyan ötszög, melynek csúcspontjai az n=1-es ötszög oldalainak felezőpontjai és így tovább.
   Az egymásba skatulyázott ötszögek oldalhosszának sorozatát jelölje a_n, ahol a₁=1.
   A csúszka mozgatásával változtathatod az egymásba írt sokszögek számát.
   Számítsd ki az n=2 ötszög oldalhosszát!
   (Megjegyezzük, hogy az alkalmazásban kiírt érték csak közelítő érték.)
   
   VÁLASZ:

   Az első két egymásba skatulyázott ötszög ábráját figyelembe véve az eredeti ötszög egyik csúcsa, és az adott csúcsból induló oldalak felezőpontjai egyenlő szárú háromszöget alkotnak, melynek szárai $\frac{1}{2}$ hosszúak. A szárszög megegyezik az ötszög belső szögével, azaz 108^o. Az így keletkezett háromszög alapja a beírt ötszög oldala a sorozat második tagja, azaz a₂. A háromszög alaphoz tartozó magasságát berajzolva derékszögű háromszöget kapunk.
   Innen a₂=a₁$\cdot$sin54^o
2. FELADAT
   Ellenőrizd a kapott eredményt! A közelítő értéket leolvashatod az ábráról.
   
   VÁLASZ:

   sin54^o ≈ 0,809
3. FELADAT
   Milyen sorozatot alkotnak az egymásba írt ötszögek oldalhosszai?
   
   VÁLASZ:

   Mértani sorozatot, mely szigorúan monoton csökkenő.
   a₁=1
   q=sin54^o