GEOMATECH tananyagok

KERESÉS

Felhasználói leírás

A matematikai analízis szinte teljes egészében a határérték fogalmára épül. Jó példa erre a differenciálszámítás és az integrálszámítás.
A következőkben egy adott sorozat határértékét vizsgájuk.
A csúszka segítségével állítható a megjelenített elemek száma.
Az y tengely futópontjával változtatható ε értéke.

EMBED

Kérdések, megjegyzések, feladatok

DIÁKOKNAK SZÓLÓ BEVEZETŐ KIEGÉSZÍTÉSE
Az a_n sorozat határértéke A valós szám, ha bármely kicsiny ε > 0 számhoz létezik olyan n₀ küszöbindex (n₀ természetesen függ ε-tól), hogyha n > n₀, akkor a_n-nek A-tól való eltérése kisebb,mint ε, azaz: |a_n – A| < ε.

KAPCSOLÓDÓ ÉRDEKESSÉGEK
Augustin Louis Cauchy - Az első éves matematikát hallgató főiskolások és egyetemisták biztosan az ő nevét hallják a legtöbbször, ami annak a következménye, hogy a matematika alapvető fogalmait (mint például konvergencia, sorozat, határérték) ő fektette szilárd alapokra és definiálta a matematikában megkövetelt szabatossággal. Mély felismerései voltak a komplex függvénytanban, a differenciálegyenletek elméletében, de a fizikában is. Írt a hullámterjedésről, a rugalmasságtanban az ő nevéhez fűződik a feszültség fogalmának tárgyalása is.

Lagrange vette észre Cauchy érdeklődését a matematika iránt, aki a későbbiekben is hatással volt pályájára.1810-ben Cherbourg-ban kapta meg élete első önálló mérnöki munkáját: azokban a kikötő építkezésekben vett részt, melyek Napóleon Anglia ellen tervezett inváziójának előkészítéséhez tartoztak. Rendkívül keményen dolgozott, már hajnali négykor talpon volt, és csak késő este hagyta abba. Kevés szabadidejében pihenésképpen Laplace „Mecanique Céleste”, illetve Lagrange „Théorie des Functions” című műveit tanulmányozta. Ezek a művek is hozzásegítették, hogy érdeklődése egyre erőteljesebben a matematika felé fordult.
Három évvel később egészségi okok miatt visszaköltözött Párizsba. Ekkor Lagrange és Laplace rábeszélték Cauchyt, hogy hagyjon fel mérnöki munkájával és foglalkozzon inkább matematikával. Hatásukra 1812 írta első publikációját a poliéderek és poligonok vizsgálatáról, melyet még több hasonló témájú mű követett. 1816-ban megkapta a Francia Akadémia aranyérmét a hullámokról írt munkájáért és igen nagy elismerést váltott ki az egyik Fermat-sejtés megoldásának publikációja.

KITEKINTÉS
Cauchy-féle kritérium: Ahhoz, hogy egy a_n sorozat konvergens legyen, szükséges és elegendő, hogy bármely ε > 0-hoz megadható legyen olyan (ε-től függő) n₀ küszöbszám, hogy ha n, m > n₀, akkor |a_n – a_m| < ε.
A határérték fogalmát a topológia illetve a kategóriaelmélet eszközeivel általánosabban is meg lehet határozni.

1. FELADAT
   Tekintsük az a_n=(1+$\frac{1}{n}$)ⁿ sorozatot. Olvasd le a küszöbszámot az alábbi értékekhez: ε₁=0,25; ε₁=0,2; ε₁=0,08!
   
   VÁLASZ:

   A küszöbszámok rendre: 4, 5, 15
   Ennek a nevezetes sorozatnak a határértéke e. Mivel ez nehezen meghatározható, ezt az értéket adjuk meg a diákoknak a következő feladathoz.
2. FELADAT
   Számítással ellenőrizd az első feladatban leolvasott értékeket!
   ε₁=0,25 esetén:
   |(1+$\frac{1}{n}$)ⁿ-e| < 0,25
   e-(1+$\frac{1}{n}$)ⁿ < 0,25
   e-0,25 < (1+$\frac{1}{n}$)ⁿ
   Algebrai úton ez az egyenlet nehezen megoldható.A leolvasott értékkel és az annál eggyel nagyobbal ellenőrizhető, valóban jól olvastuk-e le a küszöbszámot. n > 4
   A többi ε érték esetén a küszöbszám hasonlóan számítható.