GEOMATECH tananyagok

KERESÉS

Felhasználói leírás

A matematikai analízis szinte teljes egészében a határérték fogalmára épül. Jó példa erre a differenciálszámítás és az integrálszámítás.
A következőkben egy adott sorozat határértékét vizsgáljuk.
A csúszka segítségével állítható a megjelenített elemek száma.
Az y tengely futópontjával változtatható ε értéke.

EMBED

Kérdések, megjegyzések, feladatok

DIÁKOKNAK SZÓLÓ BEVEZETŐ KIEGÉSZÍTÉSE
Az a_n sorozat határértéke A valós szám, ha bármely kicsiny ε > 0 számhoz létezik olyan n₀ küszöbindex (n₀ természetesen függ -tól), hogyha n > n₀, akkor a_n-nek A-tól való eltérése kisebb, mint ε, azaz: |a_n-A| < ε.

KAPCSOLÓDÓ ÉRDEKESSÉGEK
Nézzenek utána a diákok Augustin Louis Cauchy életének és munkásságának az interneten vagy egyéb helyeken!

KITEKINTÉS
Cauchy-féle kritérium: Ahhoz, hogy egy sorozat konvergens legyen, szükséges és elegendő, hogy bármely > 0-hoz megadható legyen olyan (-től függő) küszöbszám, hogy ha , akkor < .
A határérték fogalmát a topológia illetve a kategóriaelmélet eszközeivel általánosabban is meg lehet határozni.

1. FELADAT
   Tekintsük az a_n=$\frac{1}{n^2}$ sorozatot.
   Olvasd le a küszöbszámot az alábbi értékekhez: ; ;
   
   VÁLASZ:

   A küszöbszámok rendre: 1, 2, 3
2. FELADAT
   Számítással ellenőrizd az első feladatban leolvasott értékeket!
   
   VÁLASZ:

   ε₁=0,3 esetén:
   |$\frac{1}{n^2}$-0| < 0,3
   $\frac{1}{n^2}$ < 0,3
   n² > $\frac{10}{3}$
   n > $\sqrt{\frac{10}{3} }$ ≈ 1,8
   A többi ε érték esetén a küszöbszám hasonlóan számítható.