GEOMATECH tananyagok

KERESÉS

Információ ehhez a munkalaphoz

Szükséges előismeret

Vektorok lineáris kombinációja, vektorfelbontási tétel, skaláris szorzás

Módszertani célkitűzés

A cél bemutatni, hogy skaláris szorzattal kifejthetünk vektorokat tetszőleges ortonormált bázisban.

Az alkalmazás nehézségi szintje, tanárként

Könnyű, nem igényel külön készülést.

Felhasználói leírás

Kísérletezz! Milyen beállítások mellett egyezik meg A és A’?
Hogyan kaptuk az A’pontot?
Először nézzük a problémát a szokásos koordináta-rendszerben,
bázisvektoraink $\vec{i}$ (1, 0) és $\vec{j}$ (0, 1), valamint $\vec{OA}$ (a1,a2). Ezt skalárisan szorozva $\vec{i}$ -vel, a szorzat: $\vec{OA}$*$\vec{i}$=1*a₁+0*a₂=a₁. Nyilván a $\vec{j}$-vel vett
szorzást hasonlóan elvégezve az a₂ koordinátát kapjuk. Tehát lineáris kombinációval felírható, hogy $\vec{OA}$=($\vec{OA}$*$\vec{i}$)$\vec{i}$+($\vec{OA}$*$\vec{j}$)$\vec{j}$
Az A’-t $\vec{i}$ és $\vec{j}$ lecserélésével kapjuk, $\vec{OA'}$=($\vec{OA}$*$\vec{OB}$)*$\vec{OB}$+($\vec{OA}$*$\vec{OC}$)*$\vec{OC}$ tehát $\vec{i}$ helyett az $\vec{OB}$ és $\vec{j}$ helyett az $\vec{OC}$ egységvektorokkal az előbbihez hasonló formula szerint.
A feladatod megvizsgálni, milyen feltétel szükséges ahhoz, hogy A és A’ egybeessen.

EMBED

Kérdések, megjegyzések, feladatok

TOVÁBBHALADÁSI LEHETŐSÉGEK KJ_144

1. FELADAT
   Legyen a BOC  90^o-tól különböző! A szögeket beállíthatod a B és Cpontok mozgatásával, valamint a csúszkákkal, β-val B-t, γ-val C-t. (A szögeket az x-tengely pozitív szárától pozitív körüljárás szerint mérjük. Csak egész szögeket tudunk beállítani.)
   Próbáld meg A-t úgy mozgatni, hogy A’-vel egybeessen! Hány origótól különböző pont tesz eleget ennek a feltételnek? Miért?
   
   VÁLASZ:

   Nincs több ilyen pont. Ha a vektorok nem merőlegesek, a skaláris szorzatban a megfelelő együttható mellett megjelenik egy konstans is, így a súlyozást elrontjuk. A pontos számításokhoz lásd a 3. feladat információs fülét.
2. FELADAT
   Legyen A egy tetszőleges origótól különböző pont. Mozgasd a B és C pontokat úgy, hogy A és A’ egybeessen! Hány megoldást találsz? Mekkora szöget zárnak be ekkor a bázisvektorok? Miért?
   
   VÁLASZ:

   Az egyik vektor lehet tetszőleges helyzetű, a másik erre merőleges. Mindkét irányítás jó, tehát két megoldás van. Merőleges vektorok skaláris szorzata nulla, míg egységvektor önmagával vett skaláris szorzata egy, tehát identitást kapunk.
3. FELADAT
   Állítsd be úgy a B és C pontokat, hogy a BOC  90^o legyen! Keresd meg az A pont olyan helyzeteit, amikor A’ és A nem esik egybe! Hány különböző pont tesz eleget ennek a feltételnek? Miért?
   
   VÁLASZ:

   Definíció szerint: $\vec{OA'}$=λ$\vec{OB}$+μ$\vec{OC}$, ahol λ=$\vec{OA}$*$\vec{OB}$ és μ=$\vec{OA}$*$\vec{OC}$. Pl.: $\vec{OB}$-ral skalárisan szorozva:
   $\vec{OA'}$*$\vec{OB}$=λ$\vec{OB}$*$\vec{OB}$+μ$\vec{OC}$*$\vec{OB}$. Ha $\vec{OB}$*$\vec{OC}$=0, vagyis merőlegesek, megkapjuk a λ együtthatót. A’ definíciója szerint viszont λ=$\vec{OA}$*$\vec{OB}$, de ekkor $\vec{OA}$ , rendezve:($\vec{OA'}$-$\vec{OA}$)*$\vec{OB}$=0 Mivel $\vec{OB}$ nem nulla, és irányát megválaszthattuk, tehát nem tehető fel, hogy merőlegesek, ezért $\vec{OA'}$-$\vec{OA}$=0,vagyis A és A’ ilyenkor mindig egybeesik.

KAPCSOLÓDÓ ÉRDEKESSÉGEK

1. Legyen β = 60^o és γ = 120^o. Ekkor az első koordináta a felére csökken, a második a másfélszeresére nő. Ha ügyes vagy, jól megy a vektorfelbontás, és alkalmazod a skaláris szorzás azonosságait, ezt az összefüggést rövid számolással ellenőrizheted. Tipp: Az $\vec{OA'}$=($\vec{OA}$*$\vec{OB}$)*$\vec{OB}$+($\vec{OA}$*$\vec{OC}$)*$\vec{OC}$ összefüggésben az $\vec{OB}$ és $\vec{OC}$ vektorokat írjuk fel a szokásos bázisban, valamint vegyük észre, hogy nevezetes szögekkel dolgozunk.
2. Legyen a BOC 90^o-tól különböző! Mozgassuk egy egyenes mentén – a könnyű beállítás miatt például szomszédos rácspontokon – A-t. Hogyan mozog ekkor A’? Milyen tulajdonság állhat ennek hátterében?