GEOMATECH tananyagok

KERESÉS

Felhasználói leírás

A matematikai analízis szinte teljes egészében a határérték fogalmára épül. Jó példa erre a differenciálszámítás és az integrálszámítás.
Azonban a határérték meghatározása nem mindig egyszerű feladat, ahol sok esetben segíthet a rendőrszabály, azaz ilyenkor egy bonyolult sorozatot ügyesen becslünk (korlátozunk) alulról és felülről egyszerűbb képletekkel.
A rendőrszabály elnevezés onnan ered, hogy ha a_n < c_n < b_n akkor a két szélső „rendőr” sorozat bekíséri a tömlöcbe az általuk közrefogott „bűnöző” sorozatot.

EMBED

Kérdések, megjegyzések, feladatok

KAPCSOLÓDÓ ÉRDEKESSÉGEK
Ki volt az a matematikus, aki felfigyelt Augustin Louis Cauchy matematika iránti érdeklődését? Nézzenek utána a diákok az interneten vagy egyéb helyen! Számoljanak be Cauchy életéről és munkásságáról!

1. FELADAT Tekintsük az c_n=$\frac{1}{n^2}$ sorozatot. Az alsó közelítés legyen a_n=0, míg a felső b_n=$\frac{1}{n}$. Vizsgáld meg, a_n < c_n < b_n egyenlőtlenség teljesül-e n = 1, 2, 3, 4 esetén. Teljesül az egyenlőtlenség.
2. FELADAT Oldd meg általánosan az egyenlőtlenség rendszert, és ellenőrizd az első feladatban leolvasott választ!
   VÁLASZ:

   a_n ≤ c_n, azaz 0 ≤ $\frac{1}{n^2}$ minden természetes szám esetén teljesül.
   c_n ≤ b_n, azaz $\frac{1}{n^2}$ ≤ $\frac{1}{n}$, mely egyenlőtlenség mindkét oldalának reciprokát véve adódik n² ≥ n, mely szintén minden természetes szám esetén teljesül.

    

3. FELADAT Határozd meg a_n és b_n sorozatok határértékét, majd ezek segítségével add meg értékét!
   VÁLASZ:

   Mindkét sorozat határértéke 0. Mivel a_n < c_n < b_n egyenlőtlenség minden természetes szám esetén teljesül, ezért c_n sorozat határértéke sem lehet más, mint 0.