11. évfolyam: Newton-féle szerpentin függvény vizsgálata kalkulussal

11. évfolyam

Newton-féle szerpentin függvény vizsgálata kalkulussal

Információ ehhez a munkalaphoz

Szükséges előismeret

Függvény fogalmának, és a függvény értelmezési tartományának ismerete. Szükséges függvényvizsgálati szempontok (elemi úton): függvény értékkészlete, zérushelye, szélsőértéke, paritása, menete, korlátai

Módszertani célkitűzés

Ennek a tanegységnek a célja a Newton-féle szerpentin függvény megismerése elemi úton és az analízis eszközeivel. A tulajdonságokat a görbéről akár vizuálisan, akár a görbe egy mozgatható pontja, illetve a deriváltak segítségével egyaránt leolvashatjuk.

Módszertani megjegyzések, tanári szerep

A gyakorlat lehetőséget teremt a függvénygörbe alakjának és helyzetének megfigyelésére egy mozgatható pontja segítségével.
Megfigyelhető továbbá a függvénytulajdonságok és a függvény tetszőleges pontjába húzott érintő, és a függvény deriváltjai közti kapcsolat. (Azaz a deriváltakból következtetés a függvény tulajdonságaira és fordítva.)
Ezen kívül lehetőség van az érintő állása, továbbá az első és második derivált zérushelyeinek száma, és az érintő meredekségének előjele közti kapcsolat felismerésére.
Az függvény vizsgálata alkalmas lehet a zárt intervallumon értelmezett függvény deriváltjának értelmezésére az intervallumvégpontokban is. Az értelmezés természetes módon adódik a f függvény segítségével.
Hasznos, ha minden diák maga kísérletezhet az interaktív alkalmazással.
Otthon is használhatják elméleti tudásuk elmélyítésére, házi feladatok megoldásához illetve gyakorlásra.
A tananyag alkalmas frontális, egyéni és páros munkaforma esetén egyaránt.
Ha frontálisan – például aktív táblával, vagy projektorral – használjuk, igyekezzünk minél több tanulót bevonni a munkába! Törekedjünk arra, hogy a diákok minél többet beszéljenek, fejlesztve így a szaknyelv használatát.

Felhasználói leírás

Legyen g a valós számok halmazán értelmezett g(x)= $\frac{2x}{1+x^2}$ függvény. Az f függvény legyen a g leszűkítése a [-5;5] intervallumra. Vizsgáld meg az f függvényt! A vizsgálathoz használhatod a g függvény grafikonját is. Továbbá a görbe egy mozgatható P pontját, a P-beli érintőt, illetve a g függvény első és második deriváltfüggvényét is. Figyeld meg, hogy van-e bármiféle kapcsolat a g függvény grafikonja, a deriváltak és az érintő között!

EMBED

Kérdések, megjegyzések, feladatok

FELADAT
Végezd el a Newton-féle szerpentin függvény vizsgálata elemi úton című tananyagegység feladatait!
Milyen tulajdonságokat tudsz leolvasni a görbéről - az érintő és a deriváltfüggvények segítségével - amelyeket nem sikerült leolvasni elemi eszközökkel?

VÁLASZ:
Kérdések és válaszok a Newton-féle szerpentin függvény vizsgálata elemi úton című tananyagegységben. További felismerések az alábbi pontokban.
FELADAT
Válassz egy tetszőleges pontot az függvény grafikonján, és kapcsold be a -beli érintő funkciót! Figyeld meg, hogyan változik az érintő, ha mozgatod a pontod!
Találtál-e összefüggést az érintő állása, illetve a meredeksége (nem számszerűen) és valamelyik elemzési szempont között?
Ha igen, akkor melyikkel?

VÁLASZ:
Ha a függvény egy nyílt intervallumon szigorúan monoton növekedő, akkor az érintő meredeksége az intervallum minden pontjában pozitív. Szigorúan monoton csökkenő függvény esetén az érintő meredeksége minden pontban negatív.
FELADAT
Add meg, majd kapcsold be a g függvény első derivált függvényét!
A g függvény első deriváltja a g'(x)= $\frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2}$ (x ∈ R) függvény.
FELADAT
Látsz-e összefüggést a derivált és az eredeti függvény valamely tulajdonsága között? (Könnyebben rájössz, ha mozgatod a pontot!)

VÁLASZ:
Egy nyílt intervallumon értelmezett, deriválható függvény akkor és csak akkor szigorúan növekedő, ha a deriváltja pozitív, és akkor és csak akkor szigorúan csökkenő, ha a deriváltja negatív. A függvény szélsőérték helye a deriváltfüggvény zérushelye, ha a második derivált itt nem 0.
FELADAT
Add meg, majd kapcsold be a függvény második deriváltfüggvényét!

VÁLASZ:
A függvény második deriváltja a g''(x)= $\frac{4x(x^2-3)}{(1+x^2)^3}$ (x ∈ R) függvény.
FELADAT
Látsz-e összefüggést a második derivált és a g függvény között?
(Könnyebben rájössz, ha mozgatod a pontot!)

VÁLASZ:
A függvény grafikonja (alulról) konvex, ahol a második derivált pozitív, és (alulról) konkáv, ahol a második derivált negatív. Görbületet ott vált (ott van áthajlási pontja), ahol a második deriváltnak zérushelye van, és előjelet vált.