GEOMATECH tananyagok

KERESÉS

Felhasználói leírás

Vannak egyenletek, amelyek analitikusan nehezen vagy egyáltalán nem oldhatóak meg, ezekben az esetekben a grafikus megoldás segíthet.
Az 1965-ös Matematikai Diákolimpia 1-es feladatának megoldása grafikus módszerekkel.
Oldjuk meg a következő egyenlőtlenséget a valós számok halmazán:
2*cosx ≤ |$\sqrt[]{1+sin2x}$ - $\sqrt[]{1-sin2x}$ |

EMBED

Kérdések, megjegyzések, feladatok

1. FELADAT
   Az ábrán a g(x)=2$\cdot$cosx és az f(x)= |$\sqrt[]{1+sin2x}$ - $\sqrt[]{1-sin2x}$ | és az grafikonja látható.
   Jellemezd mindkettőt!
   
   VÁLASZ:

   Jellemezzék a függvényeket saját szavaikkal.
   g értelmezési tartománya R, értékkészlete
   f értelmezési tartománya: R; értékkészlete a grafikonról leolvasva:
2. FELADAT
   Olvasd le a gyököket!
   A jobb láthatóság kedvéért nagyíthatod, elmozgathatod az ábrát, valamint használhatod az x tengelyen a futópontot.
3. FELADAT
   Olvasd le a gyököket!
   A jobb láthatóság kedvéért nagyíthatod, elmozgathatod az ábrát, valamint használhatod az tengelyen a futópontot.
   
   VÁLASZ:

   A két grafikon metszéspontjainak első koordinátái adják meg a 2$\cdot$cosx = |$\sqrt[]{1+sin2x}$ - $\sqrt[]{1-sin2x}$ | egyenlet gyökeit, melyek a mozgatható pont segítségével leolvashatóak.
   Az egyenlőtlenség megoldáshalmaza ezek ismeretében a grafikonról leolvasható.
   A két függvény az alábbi intervallumokon vesz fel azonos értéket.
   x ∈ [–5,49; –4,71] U [–1,57; –0,79] U [0,79; 1,57] U [4,71; 5,49]
4. FELADAT
   Milyen más gyökei lehetnek az egyenletnek, amelyek nem láthatók az ábrán?
   
   TANÁCS:

   A periodicitást észreveszik, azt becsüljék meg a gyökök különbségéből vagy a grafikon alapján. Ne vezessük rá őket, hagyjuk, hogy maguktól a találják meg a megoldást!
5. FELADAT
   Aktiváld a h(x) jelölőnégyzetet, ekkor megjelenik a h (a két függvény különbségének) függvény képe.
   Hol metszi ez az x tengelyt?
   Fontos, hogy felismerjék, hogy h zérushelyei megegyeznek a második feladatban szereplő egyenlet gyökeivel.
   A h(x) függvény által felvett függvényérték nemnegatív az alábbi intervallumokon: [-5,49;-0,79] U [0,79;5,49]
   Az egyenlőtelenség megoldáshalmaza a periodicitás miatt:
   [0,79+k$\cdot$2π;5,49+k$\cdot$2π], k ∈ Z