11. évfolyam: Nehezebb egyenletek egyenlőtlenségek 4

11. évfolyam

Nehezebb egyenletek egyenlőtlenségek 4

Információ ehhez a munkalaphoz

Módszertani célkitűzés

A tananyagegység célja, hogy megmutassa, milyen módon lehet grafikusan egyenleteket megoldani elsősorban analítikusan nehezen vagy egyáltalán nem megoldható egyenletek esetében.
Fontos, hogy rájöjjenek a grafikus megoldási módszer előnyeire, hátrányaira és korlátaira egyaránt.
Az értékek közelítő értékek, melyek két tizedes jegyre kerekítve olvashatók le az ábráról.
Emelt szinten vagy fakultáción kísérletezhetnek az eredeti egyenlet módosításával például:
A p paraméter változtatásával, (azaz az interaktív alkalmazásban a piros egyenes transzformálásával) megnézni, hogy mikor mennyi és milyen megoldás lehet:
cos²x+cos²2x+cos²3x=p.

Felhasználói leírás

Vannak egyenletek, amelyek analitikusan nehezen vagy egyáltalán nem oldhatóak meg, ezekben az esetekben a grafikus megoldás segíthet.
Az 1962-es Matematikai Diákolimpia 4-es feladatának megoldása grafikus módszerekkel.
Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán:
cos²x+cos²2x+cos²3x=1

EMBED

Kérdések, megjegyzések, feladatok

FELADAT
Az ábrán az cos²x+cos²2x+cos²3x=1 és a g(x)=1 grafikonja látható.
Jellemezd mindkettőt!

TANÁCS ÉS VÁLASZ:
Jellemezzék a függvényeket saját szavaikkal.
f értelmezési tartománya: x ∈ R értékkészlete a grafikonról leolvasott közelítő értékek: y ∈ [0,85;3] intervallum végpontjainak pontos értékei differenciálszámítással meghatározhatók.
FELADAT
Olvasd le a gyököket!
A jobb láthatóság kedvéért nagyíthatod, elmozgathatod az ábrát, valamint használhatod az x tengelyen a futópontot.

VÁLASZ:
x₁=-0,52; x₁=0,52; x₃=0,79; x₄=1,58; x₅=2,36; x₆=2,62;
Azaz a két grafikon metszéspontjainak első koordinátái, mely a mozgatható pont segítségével leolvasható.
FELADAT
Milyen más gyökei lehetnek az egyenletnek, amelyek nem láthatók az ábrán?

TANÁCS ÉS VÁLASZ:
A periodicitást észreveszik, becsüljék meg a periódus nagyságát a gyökök különbségéből vagy a grafikon alapján. Ne vezessük rá őket, hagyjuk, hogy maguktól a találják meg a megoldást.
A periódus π.
FELADAT
Aktiváld a h(x) jelölőnégyzetet, ekkor megjelenik a h (a két függvény különbsége) függvény képe.
Hol metszi ez az x tengelyt?

TANÁCS:
Fontos, hogy felismerjék, hogy h zérushelyei megegyeznek az első feladatban szereplő egyenlet gyökeivel.