11. évfolyam
Negyedfokú függvény vizsgálata kalkulussal
Információ ehhez a munkalaphoz
Szükséges előismeret
Negyedfokú függvény, függvénytulajdonságok, deriválás.
Módszertani célkitűzés
A tananyagegység célja, az f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e (x ∈ R, a ≠ 0) függvény vizsgálatának elősegítése elemi úton és az analízis eszközeivel. A tulajdonságokat a görbéről vizuálisan, valamint a görbe egy mozgatható pontja és a deriváltak segítségével egyaránt leolvashatjuk.
Az alkalmazás nehézségi szintje, tanárként
Könnyű, nem igényel külön készülést.
Módszertani megjegyzések, tanári szerep
Ez a tananyagegység kifejezetten akkor hasznos, ha minden gyerek maga kísérletezhet az interaktív alkalmazással.
A tananyagegység célja a korábban A negyedfokú függvény vizsgálata elemi úton című anyagban már megismert f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e (x ∈ R, a ≠ 0) függvény tulajdonságai és a függvény tetszőleges pontjába húzott érintője, illetve a függvény deriváltjai közti kapcsolat felismerése.
A gyakorlat lehetőséget teremt a függvénygörbe alakja és helyzete, illetve az érintő állása, továbbá az első és második derivált zérushelyeinek száma, és az érintő meredekségének előjele közti kapcsolat felismerésére.
Ha nincs lehetősége a diákoknak egyéni számítógépes munkára, de van interaktív tábla az osztályteremben, akkor igyekezzünk az elemzéseket minél több gyerek bevonásával elvégezni. Használjuk az eszközhiányt arra, hogy beszéltessük a gyerekeket a „matematika nyelvén”. Ha befejezte a diák az elemzését, beszéljük meg, ha valahol hibás volt a gondolatmenete, de ne fedjük fel a jó megoldást! Hagyjuk, hogy akár ő, akár egy másik gyermek újra próbálkozzon.
Ha már több hasonló függvényt ábrázoltunk és jellemeztünk, akkor foglaljuk össze – mind egyéni munka esetén, mind frontális óratartás esetén –, hogy milyen általános kapcsolatokat tudunk megfogalmazni az egyes elemzési szempontok illetve a deriváltak között.
Felhasználói leírás
BEVEZETŐ FELADAT
Vizsgáld meg minél több szempont szerint, hogyan hat az f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e (x ∈ R, a ≠ 0) függvényre a paramétereinek megváltoztatása, illetve vizsgáld meg a függvényedet lehetőleg minél több szempont szerint.
A vizsgálathoz használhatod a függvény grafikonját. Segítségképpen használhatod a görbe egy mozgatható P pontját, a P-beli érintőjét, továbbá a függvény első és második deriváltját is. Figyeld meg, hogy van-e bármiféle kapcsolat a függvénygörbe, a másik két függvény és az érintő között. Ha igen, próbáld megfogalmazni, hogy mi az!
EMBED
Kérdések, megjegyzések, feladatok
- FELADAT
Elvégezted már A negyedfokú függvény vizsgálata elemi úton című tananyagegység feladatait? Ha nem, végezd el a függvény elemzését elemi eszközökkel! - FELADAT
Válassz egy tetszőleges pontot a függvényen, és kapcsold be az érintőt!
Figyeld meg, hogyan változik az érintő, ha mozgatod a pontod!
Találtál-e összefüggést az érintő állása, illetve a meredeksége (nem számszerűen) és valamelyik elemzési szempont között?
2.1. Ha igen, akkor melyikkel?
2.2. Ha nem találtál összefüggést, akkor változtass a paramétereken és próbáld újra!
2.3. Ha megsejtettél egy összefüggést, akkor vizsgáld meg, hogy a paraméterek változtatása után is igaz maradt-e az, amit észrevettél!
VÁLASZ:Ha a függvény egy nyílt intervallumban szigorúan monoton növekedő, akkor az érintő meredeksége az intervallum minden pontjában nem negatív.
Csökkenő függvény esetén az érintő meredeksége minden pontban nem pozitív. - FELADAT
Ha szerinted már megvan az összefüggés, kapcsold be az első deriváltat!
3.1. Milyen függvényt kaptál?
VÁLASZ:A negyedfokú függvény első deriváltja egy harmadfokú függvény. - FELADAT
A kapott függvény, az érintő és az eredeti függvény valamely tulajdonsága között látsz-e összefüggést? (Ahhoz, hogy könnyebben észrevedd, most is mozgasd a pontot!)
4.1. Ha igen, akkor melyik tulajdonsággal?
4.2. Ha nem találtál összefüggést, változtass a paramétereken és próbáld újra!
4.3. Ha megsejtettél egy összefüggést, akkor vizsgáld meg, hogy a paraméterek változtatása után is igaz maradt-e az, amit észrevettél!VÁLASZ:Ha a negyedfokú függvény deriváltja egy nyílt intervallumban mindenütt pozitív, akkor az adott intervallumon a negyedfokú függvény szigorúan monoton növekszik, ha pedig a derivált negatív, akkor csökken. Ha az első derivált pozitív és negatív értékeket is felvesz, akkor a negyedfokú függvénynek van (helyi) szélsőértéke.
A szélsőértékhely a deriváltfüggvénynek zérushelye. - FELADAT
Ha szerinted már megvan az összefüggés, kapcsold be a második deriváltat!
5.1. Milyen függvényt kaptál?
VÁLASZ:A negyedfokú függvény második deriváltja egy másodfokú függvény. - FELADAT
A kapott függvény, az érintő, az első derivált és az eredeti függvény valamely tulajdonsága között látsz-e valamilyen összefüggést? (Ahhoz, hogy könnyebben észrevedd, most is mozgasd a pontot!)
6.1. Ha igen, akkor melyikkel?
6.2. Ha nem találtál összefüggést, változtass a paramétereken és próbáld újra!
6.3. Ha megsejtettél egy összefüggést, vizsgáld meg, hogy a paraméterek változtatása után is igaz maradt-e!
VÁLASZ:A negyedfokú függvény grafikonja (alulról) konvex, ahol a második derivált pozitív, és (alulról) konkáv, ahol a második derivált negatív. Görbületet ott vált (ott van áthajlási pontja), ahol a második deriváltnak zérushelye van.