GEOMATECH tananyagok

KERESÉS

Felhasználói leírás

7 barátodnak szeretnél levelet küldeni, de egyelőre csak 3 bélyeged van. Hányféleképpen adhatod fel a leveleket?
Másképpen fogalmazva: hányféleképpen tudsz 7 borítékból hármat kiválasztani?
Keresd meg az összes lehetséges kiválasztást!

EMBED

Kérdések, megjegyzések, feladatok

LEHETSÉGES HÁZI FELADAT
Hányféleképpen választható ki 7 borítékból 2 boríték? Hogyan módosulnak ekkor az összefüggések?

1. FELADAT
   Három címzett megjelölése után nyomd meg a Kiválaszt gombot! Ha változtatni akarsz a választásodon, akkor ezt a Javít gombbal (seprű ikonnal) teheted meg.
   A kiválasztott barátaidat a nevek kezdőbetűjével jelöli az alkalmazás.
   Figyeld meg a kiválasztott nevek kezdőbetűinek elhelyezkedését! Mi az oszlopokba rendezés szempontja?
   
   VÁLASZ:

   Az Alkalmazás a betűhármasokat ábécé sorrendben jeleníti meg.
   Az első oszlopban vannak azok a kiválasztások, amelyeknél Anitának küldünk levelet, tehát A-val kezdődik a betűhármas. A második oszlopban vannak azok a kiválasztások, amelyeknél Anitának nem, de Bencének küldünk levelet, tehát B-vel kezdődik a betűhármas. A harmadik oszlopban vannak azok a kiválasztások, amelyeknél Anitának és Bencének nem, de Cilinek küldünk levelet, tehát C-vel kezdődik a betűhármas. És így tovább, az ötödik oszlopban az ábécé szerinti utolsó három barát.
   
   Tanács: a tanulók próbáljanak önállóan rájönni az elrendezésre. Ehhez nyújthat segítséget a 3 fokozatú Segítség csúszka.
2. FELADAT
   Ha nem sikerült az előző kérdésre választ adnod, akkor válaszd a Segítség első szintjét. Figyeld meg a pirossal megjelenített betűket és próbálj újra választ adni a kérdésre! Ha további iránymutatásra van szükséged, akkor válaszd a Segítség második szintjét!
3. FELADAT
   A Segítség harmadik szintjén az utolsó 2 oszlop összes betűhármasát láthatod. Figyeld meg a szabályszerűséget!
   Pótold a hiányzó betűhármasokat!
4. FELADAT
   
   1. Hány kiválasztás van az első oszlopban?
   2. Hány kiválasztás van a második oszlopban?
   3. Hány kiválasztás van a harmadik oszlopban?
   4. Hány kiválasztás van a negyedik oszlopban?
   5. Hány kiválasztás van az ötödik oszlopban?
   VÁLASZ
   1. Mivel ezekben a kiválasztásokban benne van Anita, így összesen annyi kiválasztás van, ahányféleképpen 6 levélből kiválasztható 2 darab, azaz $\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix}$=15.
   2. Mivel ezekben a kiválasztásokban benne van Bence, de Anita nincs, így összesen annyi kiválasztás van, ahányféleképpen 5 levélből kiválasztható 2 darab, azaz $\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}$=10.
   3. Mivel ezekben a kiválasztásokban benne van Cili, de Anita és Bence nincs, így összesen annyi kiválasztás van, ahányféleképpen 4 levélből kiválasztható 2 darab, azaz $\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$=6.
   4. Mivel ezekben a kiválasztásokban benne van Dani, de Anita, Bence és Cili nincs, így összesen annyi kiválasztás van, ahányféleképpen 3 levélből kiválasztható 2 darab, azaz $\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$=3.
   5. Mivel ezekben a kiválasztásokban benne van Ernő, de Anita, Bence, Cili és Dani nincs, így összesen annyi kiválasztás van, ahányféleképpen 2 levélből kiválasztható 2 darab, azaz $\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}$=1.
   ÉRDEKESSÉG
   Az egyes oszlopokban a kiválasztások száma éppen egy háromszögszám. Jobb oldalról kezdve a sorszámozást a -adik oszlopban a számhármasok száma a -adik háromszögszám. Ezek a Pascal-háromszögben is megtalálhatók, minden sor második eleme (a sor nulladik eleme az 1).
5. FELADAT
   Hány kiválasztás van összesen?
   VÁLASZ Hét borítékból hármat $\begin{pmatrix} 7 \\ 3 \end{pmatrix}$=35 -féleképpen lehet kiválasztani. ÖSSZEFÜGGÉSEK
   1. Az összes lehetséges kiválasztást csoportosítani lehet az alapján, hogy Anita levelét kiválasztottuk vagy nem választottuk ki. Ha Anita levelét kiválasztottuk, akkor már csak kettőt kell kiválasztani 6 boríték közül, amit $\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix}$=15 -féleképpen tehetünk meg. Ha Anita levelét nem választottuk ki, akkor hármat kell kiválasztani 6 boríték közül, amit $\begin{pmatrix} 6 \\ 3 \end{pmatrix}$=20 -féleképpen tehetünk meg. Összesen 15+20=35 kiválasztás van, ami felírható a következő összefüggéssel: $\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix}$+$\begin{pmatrix} 6 \\ 3 \end{pmatrix}$=$\begin{pmatrix} 7 \\ 3 \end{pmatrix}$ . (Ezek alapján általánosítható az összefüggés, amely a Pascal-háromszögben is jelentkezik.)
   2. A 4. kérdés válaszai alapján kapjuk a következő összefüggést: $\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix}$+$\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}$+$\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$+$\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$+$\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}$=$\begin{pmatrix} 7 \\ 3 \end{pmatrix}$. (Ez tulajdonképpen a Pascal-háromszög „harisnya”-tulajdonsága.)
6. FELADAT
   Hányféleképpen lehet hét borítékból négyet kiválasztani?
   
   VÁLASZ:

   Ha a 7 borítékból kiválasztunk hármat, amelyet feladunk, akkor ez úgy is megtehető, ha kiválasztunk négyet, amelyet nem adunk fel. Tehát hét levélből négyet pontosan annyiféleképpen lehet kiválasztani, ahányféleképpen hét levélből hármat ki lehet választani. $\begin{pmatrix} 7 \\ 3 \end{pmatrix}$=$\begin{pmatrix} 7 \\ 4 \end{pmatrix}$
   (Ezek alapján általánosítható az összefüggés, amely a Pascal-háromszög szimmetrikus tulajdonságánál is jelentkezik.)
7. FELADAT
   Ha az előző kérdést alaposan átgondoltad, akkor a „Komplementer”-t pipáld be!
   
   VÁLASZ:

   A kiválasztott betűhármasok és betűnégyesek között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető, amely a Komplementer pipával szemléltethető.
8. FELADAT
   Az  gomb megnyomása után a Bélyegek számát állítsd át 4-re!
   Válaszd ki a borítékokat!
   Vajon milyen elv alapján csoportosítjuk a kiválasztott leveleket?
   (Ha a kérdést alaposan átgondoltad, akkor a „Komplementer”-t pipáld be!)
   
   VÁLASZ:

   A ki nem választott betűk (komplementer) alapján vannak csoportosítva a levelek.
9. FELADAT
   Ha tudod, hogy összesen hány eset van, akkor a „Tippelek” gomb megnyomása után azt beírhatod, és ellenőrizheted, hogy jól gondolod-e.
   (Ha a tippelés után folytatni szeretnéd a levél kiválasztást, akkor a borítékokra klikkelve azt megteheted.)