GEOMATECH tananyagok

KERESÉS

Felhasználói leírás

BEVEZETŐ
Egy dobókocka szabályosságának (kiemelten a hatos dobások számának) ellenőrzésére a kockát feldobjuk 600-szor és 125 hatost kapunk. Elhiszed-e, hogy szabályos?
FELADAT
Ha egy dobókockát feldobunk 600-szor, akkor milyen értékek közé essen a hatosok száma, hogy szabályosnak véljük 5%-os szignifikanciaszinten?
Másképpen fogalmazva: legfeljebb 5% legyen annak a valószínűsége, hogy hibás döntést hozunk, azaz a kocka szabályos, mi mégis szabálytalannak véljük.
-
DIÁKOKNAK SZÓLÓ BEVEZETŐ KIEGÉSZÍTÉSE
600 feldobásból várhatóan 100-szor kapunk hatost.
Annak a valószínűsége azonban, hogy pontosan 100-szor dobunk hatost viszonylag kicsi, csupán 4,37%. Ha a kocka szabályos, akkor a hatosok száma nagy valószínűséggel „100 körüli” lesz.

De vajon egy konkrét kocka-dobássorozat után mekkora az az eltérés (a 100-tól), amely esetén még szabályosnak hisszük a kockát?

Ezt az eltérést mi adhatjuk meg a kísérletsorozat elvégzése előtt.
Ha a kísérletsorozat elvégzése után azt tapasztaljuk, hogy az eltérés az előre megadott értéket meghaladja, akkor nem hisszük el, hogy a dobókocka szabályos; ha nem haladja meg, akkor pedig elfogadjuk azt a feltételezést, hogy a dobókocka szabályos.

Az eltérést a szignifikanciaszinttel adjuk meg.

Ha a szignifikanciaszint például 5%, akkor ez meghatároz egy 100-ra szimmetrikusan elhelyezkedő intervallumot, amelybe a hatosok száma (legalább) 95%-os valószínűséggel beleesik (így nem hisszük azt, hogy a kocka nem szabályos) és (legfeljebb) 5%-os valószínűséggel nem esik bele (azaz inkább azt hisszük, hogy a kocka nem szabályos).

Fontos megértened, hogy akár így, akár úgy döntünk a dobókocka szabályosságáról a kísérletsorozat eredménye alapján, a döntésünk hibás is lehet.
A szignifikanciaszint jelen esetben a tévedés esélyét is mutatja, azaz, hogy mennyi annak a valószínűsége, hogy a dobókocka szabályosságát a kísérletsorozat eredménye (azaz a minta) alapján nem fogadjuk el, holott a valóságban a dobókocka szabályos.

EMBED

Kérdések, megjegyzések, feladatok

1. KÉRDÉS
   Ha egy dobókocka szabályos, akkor 600 dobás esetén a hatosok száma milyen eloszlást követ és mik a paraméterei?
   
   VÁLASZ:

   Binomiális eloszlást követ, n = 600, p = $\frac{1}{6}$
2. KÉRDÉS
   A számegyenesen lévő fekete háromszög segítségével határozd meg, mennyi annak a valószínűsége, hogy a hatosok száma 95 és 105 közé esik?
   
   VÁLASZ:

   0,4531
3. KÉRDÉS
   A számegyenesen lévő fekete háromszög segítségével határozd meg, mennyi annak a valószínűsége, hogy a hatosok száma 90 és 110 közé esik?
   
   VÁLASZ:

   0,75012
4. KÉRDÉS
   A számegyenesen lévő fekete háromszög segítségével határozd meg, mennyi annak a valószínűsége, hogy a hatosok száma 85 és 115 közé esik?
   
   VÁLASZ:

   0,91078
5. KÉRDÉS
   A számegyenesen lévő fekete háromszöget állítsd be úgy, hogy a valószínűség legalább 0,95 legyen! Milyen értékek közé esik a hatosok száma?
   
   VÁLASZ:

   82 és 118 közé.
6. KÉRDÉS
   A megoldást az alábbi módon is megkaphatod: A Valószínűség (P) mezőbe írd be, hogy 0.95 és olvasd le, hogy a mintában milyen értékek közé esik a hatosok száma 95% valószínűséggel?
   
   VÁLASZ:

   82 és 118 közé.
   MÓDSZERTANI MEGJEGYZÉS
   A [82; 118] intervallum az úgynevezett elfogadási tartomány, azaz ha a hatosok száma ebbe az intervallumba esik, akkor a 600 dobásból álló minta alapján nem gondolható, hogy a kocka nem szabályos.
   Az elfogadási tartomány komplementere az úgynevezett visszautasítási tartomány, azaz ha a hatosok száma ebbe a tartományba esik, akkor inkább az hihető, hogy a kocka nem szabályos (visszautasítjuk azt a hipotézist, hogy szabályos).
   Jelen esetben a visszautasítási tartomány két részből áll. Mivel ez a binomiális eloszlás nem szimmetrikus a várható értékre, így az egyik, illetve másik részbe esés valószínűsége nem egyenlő. Most azonban viszonylag nagy a dobások száma, ezért csak enyhén aszimmetrikus és a két valószínűség hasonló értéket mutat. Ezek a valószínűségek az Alkalmazáson láthatók.
   (Minél nagyobb a minta elemszáma, az eloszlás annál jobban közelíti a szimmetrikus normális eloszlást. Ez egy másik tanegységben külön megvizsgálható.)
   Hipotézisvizsgálat során a szignifikanciaszint a visszautasítási tartomány nagyságát mutatja. Ha a tartomány két részből áll (úgynevezett kétoldalú hipotézisvizsgálatról van szó), akkor folytonos eloszlások esetén a részek nagysága (valószínűsége) mindkét oldalon ugyanakkora.
   Diszkrét eloszlások esetén (pl. binomiális eloszlás) azonban nem garantálható, hogy a két rész nagysága megegyezzen. Minél nagyobb a minta elemszáma, annál kevésbé aszimmetrikus az eloszlás, így az elfogadási tartomány „egyre inkább szimmetrikus” a várható értékre.
7. KÉRDÉS
   Elhiszed egy dobókockáról, hogy szabályos, ha 600 dobásból 125 hatost kapunk?
   
   VÁLASZ:

   Ha a dobássorozat után a hatosok száma 82 és 118 közé esik, akkor a kockáról nem feltételezzük, hogy szabálytalan, ha pedig nem esik közéjük, akkor 5%-os szignifikanciaszinten szabálytalannak véljük (visszautasítjuk azt a feltételezést, hogy a dobókocka szabályos).
   Utóbbi esetben azt mondjuk, hogy az eredmény szignifikáns.
   Vagyis ha a hatosok száma 82-nél kisebb vagy 118-nál nagyobb, akkor már jelentős (szignifikáns) az eltérés a várhatóhoz (100-hoz) képest, emiatt nem fogadjuk el azt a feltételezést (hipotézist), hogy a kocka szabályos.
   Ez azt jelenti, hogy ha a kocka szabályos, de a dobássorozat után mi mégis szabálytalannak véljük, akkor ezt a hibát legfeljebb 5%-os valószínűséggel követjük el.
   MÓDSZERTANI MEGJEGYZÉS
   Hipotézisvizsgálat során mindig követhetünk el hibát.
   Ebben az esetben kétféleképpen lehet hibás döntést hozni:
   Elsőfajú hiba: a kocka szabályos, mi mégis szabálytalannak véljük.
   Másodfajú hiba: a kocka szabálytalan, mi mégis szabályosnak véljük.
   (A másodfajú hibáról részletesebben egy későbbi tanegységben lesz szó.)
   A szignifikanciaszint az elsőfajú hiba elkövetésének valószínűségét mutatja.
   A gyakorlatban ez 1% és 10% között szokott lenni. (Semmilyen elméleti megalapozása nincs, de hagyományosan (önkényesen) 5%-nak szokás választani.)
   Értékét mindig a konkrét problémának megfelelően választják, ugyanis a szignifikanciaszint (és ezzel az elsőfajú hiba valószínűségének) csökkentése a másodfajú hiba elkövetésének valószínűségét növeli.
   A szignifikancia MINDIG NEGATÍV tartalmú és a hipotézis elvetését vonja maga után. Ha nem szignifikáns, akkor hihető a feltevésünk (de természetesen nem bizonyított).
   Ha valamit „statisztikailag bizonyítani” akarunk, akkor az ellentettjét kell hipotézisként feltenni és megpróbálni szignifikáns mintát találni.
   Ez a technikája ezeknek a statisztikai teszteknek.
8. KÉRDÉS
   Hogyan módosul a válasz, ha 1% a szignifikanciaszint?
   
   VÁLASZ:

   77 és 123 közé esik.
9. KÉRDÉS
   Vizsgáld meg, hogy 1200 kockadobás esetén milyen értékek közé eshet a hatosok száma, hogy 5%-os szignifikanciaszinten ne utasítsuk el azt a feltételezést (hipotézist), hogy a dobókocka szabályos?
   
   VÁLASZ:

   175 és 225 közé esik.
10. KÉRDÉS
    Hogyan módosul a válaszod, ha 1% a szignifikanciaszint?
    
    VÁLASZ:

    167 és 233 közé esik.
11. KÉRDÉS
    A számegyenesen lévő fekete háromszög beállításával vizsgáld meg, hogy más intervallumba milyen valószínűséggel esik a hatosok száma?