11. évfolyam
Harmadfokú függvény vizsgálata kalkulussal
Információ ehhez a munkalaphoz
Szükséges előismeret
Harmadfokú függvény, függvénytulajdonságok, deriválás.
Az alkalmazás nehézségi szintje, tanárként
Könnyű, nem igényel külön készülést.
Módszertani megjegyzések, tanári szerep
Ez a tananyagegység kifejezetten akkor hasznos, ha minden gyerek maga kísérletezhet az interaktív alkalmazással. A tananyagegység célja az f(x)=ax3+bx2+cx+d (x ∈ R, a ≠ 0) függvény tulajdonságai és a függvénygörbe tetszőleges pontjába húzott érintője, illetve a függvény deriváltjai közti kapcsolat felismerése.
A gyakorlat lehetőséget teremt a függvénygörbe alakja és helyzete, illetve az érintő állása, továbbá az első és második derivált zérushelyeinek száma, és az érintő meredekségének előjele közti kapcsolat felismerésére.
Ha nincs lehetősége a diákoknak egyéni számítógépes munkára, de van interaktív tábla az osztályteremben, akkor igyekezzünk az elemzéseket minél több gyerek bevonásával elvégezni. Használjuk az eszközhiányt arra, hogy beszéltessük a gyerekeket a „matematika nyelvén”. Ha befejezte a diák az elemzését, beszéljük meg, ha valahol hibás volt a gondolatmenete, de ne fedjük fel a jó megoldást! Hagyjuk, hogy akár ő, akár egy másik gyermek újra próbálkozzon. Ha már több hasonlófüggvényt ábrázoltunk és jellemeztünk, akkor foglaljuk össze – mind egyéni munka esetén, mind frontális óratartás esetén –, hogy milyen általános kapcsolatokat tudunk megfogalmazni az egyes elemzési szempontok, illetve a deriváltak között.
Felhasználói leírás
Figyeld meg, hogyan hat az f(x)=ax3+bx2+cx+d (x ∈ R, a ≠ 0) függvényre a paramétereinek megváltoztatása, illetve vizsgáld meg a függvényedet lehetőleg minél több szempont szerint!
A vizsgálathoz használhatod a függvény grafikonját. Segítségképpen használhatod a görbe egy mozgatható P pontját, a P-beli érintőjét, továbbá a függvény első és második deriváltját is.
Figyeld meg, hogy van-e bármiféle kapcsolat a függvénygörbe, a másik két függvény és az érintő között. Ha igen, próbáld megfogalmazni, hogy mi az!
EMBED
Kérdések, megjegyzések, feladatok
- FELADAT
Válassz egy tetszőleges pontot a függvénygörbén, és kapcsold be a P-beli érintőt! Figyeld meg, hogyan változik az érintő, ha mozgatod a pontod! Az érintő állása, illetve a meredeksége (nem számszerűen) mutat-e kapcsolatot valamelyik elemzési szemponttal?
2.1. Ha igen, akkor melyikkel?
2.2. Ha nem találtál összefüggést, változtass a paramétereken és próbáld újra!
2.3. Ha megsejtettél egy összefüggést, akkor ellenőrizd, hogy a paraméterek változtatása után is igaz maradt-e a sejtésed!
LEHETSÉGES (HELYES / HELYTELEN) VÁLASZOK, MEGOLDÁSOK:Ha a függvény egy nyílt intervallumban szigorúan monoton növekedő, akkor az érintő meredeksége az intervallum minden pontjában nem negatív.
Csökkenő függvény esetén az érintő meredeksége minden pontban nem pozitív. - FELADAT
Ha szerinted már megvan az összefüggés, kapcsold be az első deriváltat!
3.1. Milyen függvényt kaptál?
LEHETSÉGES (HELYES / HELYTELEN) VÁLASZOK, MEGOLDÁSOK:A harmadfokú függvény első deriváltja egy másodfokú függvény. - FELADAT
A kapott függvény, az érintő és az eredeti függvény valamely tulajdonsága között látsz-e valamilyen összefüggést? (Ahhoz, hogy könnyebben észrevedd, most is mozgasd a pontot!)
4.1. Ha igen, akkor melyik tulajdonsággal?
4.2. Ha nem találtál összefüggést, változtass a paramétereken és próbáld újra!
4.3. Ha megsejtettél egy összefüggést, akkor ellenőrizd, hogy a paraméterek
változtatása után is igaz maradt-e a sejtésed!
LEHETSÉGES (HELYES / HELYTELEN) VÁLASZOK, MEGOLDÁSOK:Ha a harmadfokú függvény deriváltja egy nyílt intervallumban mindenütt pozitív, akkor az adott intervallumon a harmadfokú függvény szigorúan monoton növekszik, ha pedig a derivált negatív, akkor csökken.
Ha az első derivált pozitív és negatív értékeket is felvesz, akkor a harmadfokú függvénynek van (helyi) szélsőértéke. A szélsőértékhely a deriváltfüggvénynek zérushelye. - FELADAT
Ha szerinted már megvan az összefüggés, kapcsold be a második deriváltat!
5.1. Milyen függvényt kaptál?
LEHETSÉGES (HELYES / HELYTELEN) VÁLASZOK, MEGOLDÁSOK:A harmadfokú függvény második deriváltja egy lineáris függvény. - FELADAT
A kapott függvény, az érintő, az első derivált és az eredeti függvény valamely tulajdonsága között látsz-e valamilyen összefüggést? (Ahhoz, hogy könnyebben észrevedd, most is mozgasd a pontot!)
6.1. Ha igen, akkor melyikkel?
6.2. Ha nem találtál összefüggést, változtass a paramétereken és próbáld újra!
6.3. Ha megsejtettél egy összefüggést, akkor ellenőrizd, hogy a paraméterek változtatása után is igaz maradt-e a sejtésed!
LEHETSÉGES (HELYES / HELYTELEN) VÁLASZOK, MEGOLDÁSOK:A harmadfokú függvény grafikonja (alulról) konvex, ahol a második derivált pozitív, és (alulról) konkáv, ahol a második derivált negatív. Görbületet ott vált (ott van áthajlási pontja), ahol a második deriváltnak zérushelye van.