11. évfolyam: Függvényvizsgálat kalkulussal 8

11. évfolyam

Függvényvizsgálat kalkulussal 8

Információ ehhez a munkalaphoz

Szükséges előismeret

Függvény fogalma, értelmezési tartománya. Függvényvizsgálati szempontok elemi úton: függvény értékkészlete, zérushelye, szélsőértéke, paritása, menete, korlátai.

Módszertani célkitűzés

Ennek a tanegységnek a célja, az f(x)=x $\sqrt[]{1-x^2}$ függvény megismerése elemi úton és az analízis eszközeivel. A tulajdonságokat a görbéről akár vizuálisan, akár a görbe egy mozgatható pontja, illetve a deriváltak segítségével egyaránt leolvashatjuk.

Az alkalmazás nehézségi szintje, tanárként

Könnyű, nem igényel külön készülést.

Módszertani megjegyzések, tanári szerep

A gyakorlat lehetőséget teremt a függvénygörbe alakjának és helyzetének megfigyelésére egy mozgatható pontja segítségével.
Megfigyelhető továbbá a függvénytulajdonságok és a függvény tetszőleges pontjába húzott érintő és a függvény deriváltjai közti kapcsolat.
Lehetőség van az érintő állása, az első és második derivált zérushelyeinek száma és az érintő meredekségének előjele közötti kapcsolat felismerésére.
Az f függvény vizsgálata alkalmas lehet a zárt intervallumon értelmezett függvény deriváltjának értelmezésére az intervallumvégpontokban is. Az értelmezés természetes módon adódik a g függvény segítségével.
Hasznos, ha minden diák maga kísérletezhet az alkalmazással.
Otthon is használhatják elméleti tudásuk elmélyítésére, házi feladatok megoldásához illetve gyakorlásra.
A tananyag alkalmas frontális, egyéni és páros munkaformához is. Ha frontálisan – például aktív táblával, vagy projektorral – használjuk, igyekezzünk minél több tanulót bevonni a munkába! Törekedjünk arra, hogy a diákok minél többet beszéljenek, fejlesztve így a szaknyelv használatát.

Felhasználói leírás

Legyen f a [-1;1] intervallumon értelmezett f(x)=x $\sqrt[]{1-x^2}$ függvény. Vizsgáld meg az f függvényt! Használhatod a görbe egy mozgatható P pontját, a P-beli érintőt, illetve az f függvény első és második deriváltfüggvényét is. Figyeld meg, hogy van-e bármiféle kapcsolat az f függvény grafikonja, a deriváltak és az érintő között!

EMBED

Kérdések, megjegyzések, feladatok

FELADAT
Határozd meg a valós számok halmazának azt a legbővebb részhalmazát, amelyen a fenti kifejezés értelmezhető!

VÁLASZ:
[-1;1]
FELADAT
Állapítsd meg a pont mozgatásával a függvény értékkészletét!

VÁLASZ:
A függvény értékkészlete a [-0,5;0,5] intervallum.
FELADAT
Van-e a függvénynek zérushelye?

VÁLASZ:
Van: x=-1-ben, x=0-ban, és x=1-ben.
FELADAT
Van-e a függvénynek maximuma, illetve minimuma. Mennyi az értékük, és hol veszi fel ezeket?

VÁLASZ:
Van. Globális maximuma az x=0,71 helyen van, az itt felvett függvényérték 0,5. Lokális maximuma az x=-1 helyen van, az itt felvett függvényérték 0. Globális minimuma a x=-0,71 függvénynek az helyen van, az itt felvett függvényérték -0,5. Lokális minimuma x=1 az helyen van, az itt felvett függvényérték 0.
FELADAT
Állapítsd meg a függvény paritását!

VÁLASZ:
A függvény páratlan.
FELADAT
Hol vannak a függvények inflexiós pontjai?

VÁLASZ:
A függvénynek inflexiós pontja az x=0-ban van.
FELADAT
Válassz egy tetszőleges P pontot az f függvény grafikonján, és kapcsold be a P-beli érintő funkciót! Figyeld meg, hogyan változik az érintő, ha a pontod mozgatod! Találtál-e összefüggést az érintő állása, a meredeksége (nem számszerűen) és valamelyik elemzési szempont között?
Ha igen, akkor melyikkel?
MAGYARÁZAT
Ha a függvény egy nyílt intervallumban szigorúan monoton nő, akkor az érintő meredeksége az intervallum minden pontjában pozitív. Szigorúan monoton csökkenő függvény esetén az érintő meredeksége minden pontban negatív.
FELADAT
Kapcsold be a f függvény első deriváltfüggvényét!

VÁLASZ:
Az f függvény első deriváltja: f'(x)= $\frac{-1-2x^2}{\sqrt{1-x^2}}$ (x ∈ [-1;1]) függvény.
FELADAT
Látsz-e összefüggést a derivált és az eredeti függvény valamely tulajdonsága között? (Könnyebben rájössz, ha mozgatod a pontot!)
MAGYARÁZAT
Egy nyílt intervallumon értelmezett, deriválható függvény akkor és csak akkor szigorúan növekedő, ha a deriváltja pozitív, és akkor és csak akkor szigorúan csökkenő, ha a deriváltja negatív. A függvény szélsőértékhelye ott lehet, ahol a derivált függvénynek zérushelye van, és ebben a pontban a második derivált nem nulla.
FELADAT
Kapcsold be az f függvény második deriváltfüggvényét!

VÁLASZ:
Az f függvény második deriváltja az f''(x)= $\frac{2x^3-3x }{\sqrt{1-x^2(1-x^2)}}$ (x ∈ [-1;1])
FELADAT
Látsz-e összefüggést a második derivált és az f függvény között?
(Könnyebben rájössz, ha mozgatod a pontot!)
MAGYARÁZAT
A függvény grafikonja (alulról) konvex, ahol a második derivált pozitív, és (alulról) konkáv, ahol a második derivált negatív. Görbületet ott vált (ott van áthajlási pontja, vagy másképp inflexiós pontja), ahol a második deriváltnak zérushelye van, és a második derivált előjelet vált.