11. évfolyam
Függvényvizsgálat kalkulussal 5
Információ ehhez a munkalaphoz
Szükséges előismeret
Függvény fogalma, értelmezési tartománya. Függvényvizsgálati szempontok elemi úton: függvény értékkészlete, zérushelye, szélsőértéke, paritása, menete, korlátai
Módszertani célkitűzés
Ennek a tanegységnek a célja egy adott racionális törtfüggvény megismerése elemi úton és az analízis eszközeivel. A tulajdonságokat a görbéről vizuálisan, valamint a görbe egy mozgatható pontja és a deriváltak segítségével egyaránt leolvashatjuk.
Az alkalmazás nehézségi szintje, tanárként
Könnyű, nem igényel külön készülést.
Módszertani megjegyzések, tanári szerep
A gyakorlat lehetőséget teremt a függvénygörbe alakjának és helyzetének megfigyelésére egy mozgatható pontja segítségével, továbbá a függvény tulajdonságai és a függvény tetszőleges pontjába húzott érintője, illetve a függvény deriváltjai közti kapcsolat felismerésére. Ezen kívül lehetőség van az érintő állása, továbbá az első és második derivált zérushelyeinek száma, és az érintő meredekségének előjele közti kapcsolat felismerésére.
Ez a tananyag egység kifejezetten akkor hasznos, ha minden gyerek maga kísérletezhet az interaktív alkalmazással.
A tananyag alkalmas frontális, egyéni és páros munkaformához is.
Amennyiben frontálisan – például aktívtáblával vagy projektorral – használjuk, igyekezzünk minél több tanulót bevonni a munkába.
Törekedjünk arra, hogy a diákok minél többet beszéljenek, ezáltal fejlesztve a szaknyelv használatot és a matematikai kommunikációt.
A diákok otthon is használhatják elméleti tudásuk elmélyítéséhez, házi feladatok megoldásához, gyakorlásra.
Felhasználói leírás
Legyen g a valós számok halmazán értelmezett g(x)=
függvény.
Az f függvény legyen a g leszűkítése a [-8;8] intervallumra.
Vizsgáld meg az f függvényt, egy mozgatható pontja segítségével! A vizsgálathoz használhatod a g függvény grafikonját is. Továbbá a görbe egy mozgatható P pontját, a P-beli érintőt, illetve a g függvény első és második derivált függvényét is. Figyeld meg, hogy van-e bármiféle kapcsolat a g függvény grafikonja, a deriváltak és az érintő között!
EMBED
Kérdések, megjegyzések, feladatok
- FELADAT
Végezd el a Függvény vizsgálat elemi úton 3. című anyag feladatait!
Milyen egyéb tulajdonságokat tudsz leolvasni a görbéről az érintő és a derivált függvények segítségével?
Kérdések és válaszok Függvény vizsgálat elemi úton 3. című anyagban. - FELADAT
Válassz egy tetszőleges P pontot az f függvény grafikonján, és kapcsold be a P-beli érintő funkciót! Figyeld meg, hogyan változik az érintő, ha mozgatod a pontot! Találtál-e összefüggést az érintő állása, illetve a meredeksége (nem számszerűen) és valamelyik elemzési szempont között?
Ha igen, akkor melyikkel?
VÁLASZ:Ha a függvény egy nyílt intervallumon szigorúan monoton növekedő, akkor az érintő meredeksége az intervallum minden pontjában pozitív. Szigorúan monoton csökkenő függvény esetén az érintő meredeksége minden pontban negatív. - FELADAT
Add meg, majd ellenőrzésként kapcsold be a g függvény első derivált függvényét!
VÁLASZ:A függvény első deriváltja az f'(x)=
- FELADAT
Látsz-e összefüggést a derivált és az eredeti függvény valamely tulajdonsága között? (Könnyebben rájössz, ha mozgatod a pontot!)
VÁLASZ:Egy nyílt intervallumon értelmezett, deriválható függvény akkor és csak akkor szigorúan növekedő, ha a deriváltja pozitív, és akkor és csak akkor szigorúan csökkenő, ha a deriváltja negatív. A függvény szélsőérték helye a derivált függvény zérushelye, ha a második derivált nem 0. - FELADAT
Add meg, majd ellenőrzésként kapcsold be a g függvény második derivált függvényét!
A függvény második deriváltja az f''(x)=
- FELADAT
Látsz-e összefüggést a második derivált és a g függvény között?
(Könnyebben rájössz, ha mozgatod a pontot!)
VÁLASZ:A függvény grafikonja (alulról) konvex, ahol a második derivált pozitív, és (alulról) konkáv, ahol a második derivált negatív. Görbületet ott vált (ott van áthajlási pontja), ahol a második deriváltnak zérushelye van, és előjelet vált.