11. évfolyam
Függvényvizsgálat elemi úton
Információ ehhez a munkalaphoz
Módszertani célkitűzés
A tananyagegység célja, elősegíteni bármely képlettel megadott függvény vizsgálatát, elemi módon. A tulajdonságokat a grafikonról vizuálisan és egy a grafikonon mozgatható pont segítségével egyaránt leolvashatjuk.
Az alkalmazás nehézségi szintje, tanárként
Könnyű, nem igényel külön készülést.
Módszertani megjegyzések, tanári szerep
A tananyagegység célja egy tetszőleges függvény ábrázolása, és elemzése.
Ez a tananyag egység kifejezetten akkor hasznos, ha minden gyerek maga kísérletezhet az interaktív alkalmazással. Éppen ezért az lenne az ideális, ha olyan helyzetben találkoznának a gyerekek ezzel a feladattal (pl. házi feladat), ahol van lehetőségük a kísérletezésre.
Ha nincs lehetősége a diákoknak egyéni számítógépes munkára, de van interaktív tábla az osztályteremben, akkor igyekezzünk az elemzéseket minél több gyerek bevonásával elvégezni. Használjuk az eszközhiányt arra, hogy beszéltessük a gyerekeket a „matematika nyelvén”. Ha befejezte a diák az elemzését, beszéljük meg, ha valahol hibás volt a gondolatmenete, de ne fedjük fel a jó megoldást!
Hagyjuk, hogy akár ő, akár egy másik gyermek újra próbálkozzon.
Ha már több hasonlófüggvényt ábrázoltunk és jellemeztünk, akkor foglaljuk össze – mind egyéni munka esetén, mind frontális óratartás esetén –, hogy milyen általános kapcsolatokat tudunk megfogalmazni az egyes elemzési szempontok között.
Az anyag emelt és középszinten egyaránt használható, ezért a középszintet meghaladó kérdések is szerepelnek. Minden esetben hívjuk fel a diákok figyelmét arra, ha van olyan kérdés, amit az adott csoportnak nem kell tudnia megválaszolni!
Felhasználói leírás
Vizsgáld meg a függvényedet annyi szempont alapján, amennyit csak tudsz.
A vizsgálathoz használhatod a függvény képét, illetve segítségképpen használhatod a görbe egy mozgatható pontját is. A beviteli mezőbe írd be a kiválasztott függvény nevét és paramétereit. Tetszőlegesen választhatsz az alábbi függvények illetve ezek kompozíciója, vagy tetszőleges függvényművelettel történő összekapcsolásaik közül:
Függvény neve és hozzárendelési szabálya Jelölés az alkalmazásban
| lineáris függvény: f(x)=x | x |
| abszolútérték-függvény: f(x)=|x| | abs(x) |
négyzetgyökfüggvény: f(x)=![\sqrt[]{x}](https://tananyag.mdoe.hu/filter/tex/pix.php/8063d4d987ef60216b65012e72510bc0.gif "\sqrt[]{x}") |
sqrt(x) |
köbgyökfüggvény: f(x)=![\sqrt[3]{x}](https://tananyag.mdoe.hu/filter/tex/pix.php/350e7bc42cb23c47f4e863591854f06c.gif "\sqrt[3]{x}") |
cbrt(x) |
n-edik gyök függvény: f(x)=![\sqrt[n]{x}](https://tananyag.mdoe.hu/filter/tex/pix.php/d6c1afa8d60c1c11a2dc642712eaa238.gif "\sqrt[n]{x}") |
gyökvonás(x,n) |
| másodfokú függvény: f(x)=x2 | x^2 |
| szinuszfüggvény: f(x)=sin(x) | sin(x) |
| koszinuszfüggvény: f(x)=cos(x) | cos(x) |
| tangensfüggvény: f(x)=tg(x) | tg(x) |
| kotangensfüggvény: f(x)=ctg(x) | ctg(x) |
| exponenciális függvény: f(x)=ex | exp(x) |
| logaritmusfüggvény: f(x)=logax, ha a > 0 és a 1 | log(a,x) |
EMBED
Kérdések, megjegyzések, feladatok
- Mi (legyen) a függvény értelmezési tartománya?
(A valós számok halmazának mi az a legbővebb részhalmaza, amin a függvényértéket megadó kifejezés értelmezhető?) - Mi a függvény értékkészlete?
- Van-e zérushelye a függvénynek?
3.1. Ha van, akkor mennyi van, és mi az/mik azok? - Van-e szélsőértéke a függvénynek?
4.1. Ha van, akkor milyen? (lokális, globális,minimum, maximum)
4.2. Hol van, és mennyi az értéke? - Milyen monotonitási karakterrel/karakterekkel rendelkezik a függvény, és milyen halmazon?
- Van-e (alulról) konvex illetve konkáv része a függvénynek?
6.1. Ha igen, milyen intervallumon? - Van-e inflexiós pontja?
- Milyen a paritása?
- Periodikus-e?
9.1. Ha igen, mi a periódusa? - Rendelkezik-e valamilyen korláttal?
10.1. Ha igen, milyennel, és mi a lehetséges korlátok közül a legkisebb/legnagyobb? - Van-e valamilyen kapcsolat 1. – 10. szempontok között?
Vannak-e köztük olyan szempontok, amelyek ugyan arra a helyre vagy értékre „mutatnak”?
NÉHÁNY LEHETSÉGES MEGFIGYELÉS AZ ÁLTALÁNOS TULAJDONSÁGOK (11. PONT) VIZSGÁLATÁNÁL (EMELT SZINTEN)
Ha a függvénynek van globális (abszolút) szélsőértéke, akkor
- a függvény vagy felülről, vagy alulról korlátos
- a szélsőértéke az értékkészletének a legkisebb vagy a legnagyobb eleme
Ha a függvény folytonos - és az értelmezési tartománya egy intervallum,akkor az értékkészlete is egy intervallum (tágabb értelemben véve az intervallum fogalmát);
- és az értelmezési tartománya egy zárt intervallum, akkor a függvénynek van abszolút maximuma és abszolút minimuma is, az értékkészlete pedig zárt intervallum (amelynek a végpontjai a szélsőértékek);
- és egy zárt intervallumon értelmezve van, továbbá ennek a zárt intervallumnak a határain felvett függvényértékek különböző előjelűek, akkor a zárt intervallum belsejében van zérushelye a függvénynek;
- és az értelmezési tartománya egy intervallum, továbbá van (abszolút) maximuma és minimuma is, akkor az értékkészlete zárt intervallum (amelynek a végpontjai a szélsőértékek).