GEOMATECH tananyagok

KERESÉS

Felhasználói leírás

Egy függvény pontbeli folytonosságát a Cauchy-féle definícióval írtuk le:
Az f függvényt folytonosnak nevezzük az értelmezési tartományának egy x₀ pontjában, ha tetszőleges ε > 0 -hoz létezik olyan δ > 0 melyre, ha |x-x₀| < δ, akkor |f(x)-f(x)₀ < ε.
Egy függvényt folytonosnak nevezünk, ha értelmezési tartományának minden pontjában folytonos.
Adott az f(x)=x$\cdot$$\frac{2^x}{x}$, x $\in$ R\{0} függvény.
Az interaktív alkalmazásban az adott függvény folytonosságát vizsgáljuk több különböző pontban.

EMBED

Kérdések, megjegyzések, feladatok

LEHETSÉGES HÁZI FELADATOK
x₀=1, ε=0,001-hez számolással határozz meg alkalmas δ-t!

TOVÁBBHALADÁSI LEHETŐSÉGEK
Függvény határértéke

1. FELADAT
   Figyeld meg a függvény hozzárendelési szabályát, grafikonját!
2. FELADAT
   Állítsd be x₀ értékét 1-re!
   Határozd meg x₀ azon környezetét, melyben a függvényértékek legfeljebb ε-nal térnek el f(x)₀ -tól!
   Állítsd be értékét a panelen található csúszka segítségével 0,3; 0,1; 0,05 értékekre!
   Olvasd le a hozzájuk tartozó értékeket!
   
   VÁLASZ:

   δ értéke rendre: 0,202; 0,07; 0,036.
3. FELADAT
   Tudsz-e tetszőleges ε-hoz δ-t adni?
   Folytonos-e ebben a pontban a függvény?
   
   VÁLASZ:

   A megjelenő sávok mutatják, hogy bármilyen kicsi ε-hoz találunk megfelelő δ-t.
   A függvény folytonos az adott pontban.
4. FELADAT
   Változtasd x₀ értékét! Mit tapasztalsz?
   
   VÁLASZ:

   Ugyanez a helyzet minden olyan pontban, ahol a függvény értelmezve van. Ezeken a helyeken a függvény grafikonja megegyezik f(x)=2^x exponenciális görbével.
5. FELADAT
   Állítsd be x₀ értékét 0-ra! Mit mondhatsz itt a függvényről?
   
   VÁLASZ:

   Ebben a pontban a függvény nincs értelmezve, nincs függvényérték, így itt ennek közelítését, a folytonosságot sem vizsgálhatjuk.
6. FELADAT
   Folytonos-e az f függvény ezek után?
   VÁLASZ:

   Mivel az f függvény az értelmezési tartományának minden pontjában folytonos, ezért maga a függvény is folytonos. Az x=0 helyen a függvény nincs értelmezve.
7. FELADAT
   Milyen értéket kell rendelnünk az x=0-hoz, ha a függvény értelmezési tartományát ki akarjuk terjeszteni úgy, hogy továbbra is folytonos maradjon?
   VÁLASZ:

   f(0) = 1

KITEKINTÉS
A függvény folytonosságának megfogalmazására más definíciók is léteznek.
Heine-féle definíció:
Az f függvényt folytonosnak nevezzük az értelmezési tartományának egy x₀ pontjában, ha bármely $\lim_{n\to\infty} x_n$=x₀ esetén $\lim_{n\to\infty} f(x_n)$=f(x₀)