GEOMATECH tananyagok

KERESÉS

Felhasználói leírás

Hogy változik az f(x)=c$\cdot$a^x+u+v függvény görbéje, ha megváltoztatod a paramétereit (a, c, u, v)? Kísérletezz!
Példa exponenciális egyenletre vezető valós problémákra: befektetés, hitel, értékcsökkenés, demográfiai mutatók, demográfiai robbanás a harmadik világban, népességcsökkenés az öregedő Európában, a Föld eltartó képessége és az élelmezési válság, betegségek, járványok terjedése, túltermelés és túlfogyasztás, radioaktivitás, energiafelhasználás, erőforrások kimerülése, fenntarthatóság.
A függvény grafikonja változtatható a paraméterek csúszkáinak mozgatásával (a megadott intervallumokon belül), vagy a beviteli mezőbe írás segítségével. Szabadon megválasztható a függvény hozzárendelési szabályának és az aszimptotjának megjelenítése. Mozgatni is lehet a függvény grafikonját egy P pont a tologatásával.
„u” paraméternek akkor van fontos szerepe (a hatvány azonosságok miatt), mikor a grafikon P pont segítségével mozog.

• A f(x)=c$\cdot$a^x+u+v függvény négy paraméterének változtatásával látványosan megvizsgálhatók a függvény transzformációnak tulajdonságai. A függvény egy pont (P) segítségével mozgatható, ha –15 ≤ v ≤ 15; –5 ≤ u ≤ 5. Ekkor mozgatás közben figyelhetők meg a paraméterek változásai.
  A görbe aszimptotája is megjeleníthető.
• A tananyag alkalmas frontális, egyéni és páros munkaformához is.
  A diákok otthon is használhatják elméleti tudásuk elmélyítéséhez, házi feladatok megoldásához, gyakorlásra.
  A tanároknak feladatsorok előkészítéséhez, dolgozatok összeállításához is ajánlható.

AZ ALKALMAZÁS KIINDULÁSI HELYZETÉNEK LEÍRÁSA
Csúszkák:

• a, c, u és v : a függvény paraméterei. (0 ≤ a és a ≠ 1; 15 ≤ , 15 ≤ c ≤ v 15; –5 ≤ u ≤ 5)
  Jelölőnégyzetek:
• Hozzárendelési szabály: a függvény hozzárendelési szabályát írja ki.
• Mozgatás: megjelenik a P pont. Ennek segítségével a grafikon mozgatható, ha –15 ≤ v ≤ 15; –5 ≤ u ≤ 5.
• Aszimptota: a koordináta-rendszerben megjelenik az exponenciális függvény aszimptotája egy szaggatott vonallal jelölve. Az aszimptota az az egyenes, melyhez a görbe „hozzásimul”.
  Kezdetben láthatatlan objektumok:
  • Ha a hatvány alapja (a) 0, akkor megjelenik a „Nincs értelmezve!” figyelmeztetés a csúszkák felett. A görbe nem látható.
  • Ha a hatvány alapja 1, akkor megjelenik a „Nem exponenciális fv.!” (Szerk. megjegyzés: „fv.” rövidítést a függvény helyett használtuk helyhiány miatt) figyelmeztetés a csúszkák felett.
  • A függvény hozzárendelési szabályát megjelenítő felirat a koordináta rendszeren.
  • A függvény grafikonjának aszimptotája szaggatott vonallal.

Kérdések, megjegyzések, feladatok

KIPRÓBÁLÁSRA JAVASOLT ESETEK

1. > 1, = 1, = 0, = 0
2. < 1, = 1, = 0, = 0
3. = 1, = 1, = 0, = 0
4. > 1, > 0 = 0, = 0
5. > 1, = 0, = 0, = 0
6. > 1, < 0, = 0, = 0
7. > 1, > 0, > 0 (Aszimptota megjelenítésével is)
8. > 1, > 0, = 0, < 0 (Aszimptota megjelenítésével is)

AZ ESZKÖZTÁRON TALÁLHATÓ IKONOK
Mozgatás, Rajzlap mozgatása, Nagyítás és Kicsinyítés. Ezek segítségével a függvény grafikonját precízen meg lehet vizsgálni. (Például: ha kilóg a képernyőről, akkor mozgatással, kicsinyítéssel lehet javítani az ábrázoláson.)

1. FELADAT
   Függvényábrázolás
   1. Ábrázold az f(x)=2^x függvényt!
   2. Ábrázold az f(x)=2^x-1 függvényt!
   3. Ábrázold az f(x)=2^x-1 függvényt!
   4. Ábrázold az f(x)=2^x+1 függvényt!
   5. Ábrázold az f(x)=2$\cdot$2^x függvényt!
   6. Ábrázold az f(x)=0,5$\cdot$2^x függvényt!
   7. Ábrázold az f(x)=2^-x függvényt!
   8. Ábrázold az f(x)=-3$\cdot$2^x függvényt!
2. FELADAT
   Ábrázold az f(x)=2^x függvényt (x $\in$ R) !
   
   1. Hogy kellene megváltoztatni az f függvény hozzárendelési szabályát, hogy az eredeti grafikon x tengelyre vonatkozó tükörképe jelenjen meg?
   2. Hogy kellene megváltoztatni az f függvény hozzárendelési szabályát, hogy az eredeti grafikon y tengelyre vonatkozó tükörképe jelenjen meg?
   3. Mit kell tenni, hogy x tengely mentén az f függvény grafikonja a háromszorosára nyúljon?
   4. Mit kell tenni, hogy y tengely mentén az f függvény görbéje a háromszorosára nyúljon?
   5. Melyik függvény grafikonját kapod meg, ha az f függvény képét eltolod az alábbi vektorral? Mi lesz az eltolás után kapott grafikonhoz tartozó függvény értelmezési tartománya és értékkészlete?
   i) u (0; 4)
   ii) u (4; 0)
   iii) u (1; 4)
3. FELADAT
   A mesebeli MT-42 nevű kisbolygót a Földhöz hasonló légkör veszi körül. A kisbolygó légkörében a nyomást a magasság függvényében jó közelítéssel a p(h)=p₀$\cdot$($\frac{1}{3}$)^h függvény adja meg, ahol p₀ = 9 Pa a bolygó felszínén mért légnyomás, h -t pedig km-ben mérik.
   1. A függvény grafikonja alapján körülbelül mekkora a légnyomás 2 km magasban?
   2. A kisbolygón élnek a brevis nevű kis élőlények, amely legalább 1 Pa, de legfeljebb 5 Pa nyomáson tudnak létezni. Mekkora magasságokban találhatók meg? Próbálj minél pontosabb választ adni! (Lehet nagyítani a grafikont!)
   VÁLASZ:

   1. 2 km magasban p = 1 Pa a légnyomás.
   2. 2 km magasban 1 Pa, illetve kb. 0,54 km magasan 5 Pa a nyomás. Azaz az élőlény kb. 0,54 – 2 km közötti magasságokban él.
4. FELADAT
   Jellemezd az 1. feladat függvényeit a megadott szempont szerint:
   1. értékkészlet;
   2. zérushely;
   3. monotonitás;
   4. konvexitás