11. évfolyam
Az érintő meredeksége és a derivált kapcsolata 3
Információ ehhez a munkalaphoz
Szükséges előismeret
Az f(x)=2x3-3x2; (x 
R) függvény esetén az érintő meredekségének értéke és derivált függvény kapcsolata.
Az alkalmazás nehézségi szintje, tanárként
Könnyű, nem igényel külön készülést.
Felhasználói leírás
Egy kör adott pontján áthaladó érintő meredekségének kiszámítása egyszerű feladat a kör egyenletének ismeretében. Felmerül a kérdés, hogyan adható meg egy függvény grafikonja esetében egy adott pontbeli érintő meredeksége?
VÁLASZ:
Egy kör adott pontján áthaladó érintő meredekségének kiszámítása: a kör középpontjából az adott pontba mutató vektor az érintő normálvektora, mivel kör esetén az érintési pontba húzott sugár merőleges az érintőre. A normálvektor ismeretében a meredekség könnyen számítható.
Feladatok
- FELADAT
Az ábrán az f(x)=2x3-3x2; (x R) függvény grafikonja látható P futópontot állítsd (1;-1) az pontra.
Az ábra segítségével add meg az érintő meredekségét!
VÁLASZ:Bármely egyenes meredeksége meghatározható az egyenes két pontjának koordinátáiból.
Az egyszerűség kedvéért válasszunk rácspontokat a feladat megoldásához.
Segítségként a „P-beli érintő” funkció megjeleníti az érintőt.
A „Meredekség értéke” funkció bejelölt állapotában a grafikonon az aktuális ponthoz tartozó meredekség értéke pont formájában jelenik meg az ábrán. - FELADAT
Add meg az ábrázolt függvény grafikonjának 2-3 pontjához tartozó érintő meredekségét az előző módszerrel!VÁLASZ:Például a 0; 0,5; 1 abszcisszájú pontokban a meredekség rendre 0; -1,5; 0 - FELADAT
Rendezd táblázatba az előző két feladat eredményeit!
MINTA A TÁBLÁZATHOZ
x
f(x)=2x3-3x2
Meredekség - FELADAT Az „Első derivált” funkció megjeleníti a függvény első deriváltját. Egészítsd ki a táblázatod az első derivált függvény helyettesíti értékeivel!
A kitöltött táblázat alapján szerinted milyen kapcsolat lehet egy adott pontban a függvény első deriváltja és a függvény érintőjének meredeksége között?
VÁLASZ:
A táblázat kitöltésével észreveszik, adott x értékeknél a meredekség és az első derivált helyettesítési értéke megegyezik. Két oszlopot kitöltöttünk mintaként.x 0 1 f(x) 0 -1 meredekség értéke 0 0 első derivált helyettesítési értéke 0 0
Ha mégsem, javasoljuk a „Meredekség értéke” funkció használatát, mely bejelölt állapotában a grafikonon az aktuális ponthoz tartozó meredekség értéke megjelenik az ábrán.