GEOMATECH tananyagok

KERESÉS

Felhasználói leírás

Egy bolha a koordináta-sík origójából indulva 500-szor ugrik, minden ugrásnál „lefelé” vagy „felfelé”. A „lefelé” ugrás az (1;-1) vektorral való elmozdulást jelenti, a „felfelé” ugrás pedig az (1;1) vektorral való elmozdulást. A „lefelé” ugrás valószínűsége 0,45.
Ábrázoljuk a bolha elhelyezkedését az ugrások számának függvényében!
Figyeld meg a bolha útját! Az  gomb megnyomásával indítsd el újra a bolhát!

Kérdések, megjegyzések, feladatok

KAPCSOLÓDÓ ÉRDEKESSÉGEK
Ha minden rácspontra (egész koordinátájú pontokra) ráírnánk, hogy a bolha hányféleképpen tud ahhoz a ponthoz eljutni, akkor a 0 értékektől eltekintve éppen egy fektetett Pascal-háromszöget kapnánk.

1. FELADAT
   Merre „bolyong” a bolha? A vízszintes tengely (az x tengely) körül mozog?
   
   VÁLASZ:

   Ezt a jelenséget Bolyongásnak nevezzük. Mivel a kétirányba különböző valószínűséggel ugrik a bolha, ezért aszimmetrikus bolyongásnak nevezzük.
   Az alkalmazás segítségével legfeljebb 10 000 ugrásig követhető a bolha útja, de természetesen bármeddig (akár a végtelenségig) ugorhat.
   A szimmetrikus bolyongással ellentétben az aszimmetrikus bolyongásnál nem a vízszintes tengely körül mozog a bolha. Ha valószínűséggel ugrik negatív irányba és (1-p) valószínűséggel pozitív irányba, akkor x számú ugrás után várhatóan (1-p)x-px=(1-2p)x (előjeles) távolságra lesz a vízszintes tengelytől, azaz a bolha az egyenletű egyenes körül bolyong. (Az egyenes meredeksége 1-2p és az origón halad át.)
   (Vegyük észre, hogy a p=0,5 speciális eset éppen a szimmetrikusbolyogásnak felel meg.)
   A (végtelen) aszimmetrikus bolyongás rendelkezik két fontos, érdekes tulajdonsággal:

   1. A bolha az y=(1-2p)x egyenletű egyenestől akármennyire „eltávolodhat”. Pontosabban 1 valószínűséggel tetszőlegesen nagy távolságra juthat tőle. (Vigyázzunk! Ha a lehetséges kimenetelek száma nem véges, akkor az 1 valószínűségű esemény nem azonos a biztos eseménnyel.)
   2. Bár a bolha az 1) tulajdonság miatt tetszőlegesen messzire elbolyonghat, de 1 valószínűséggel „visszatér” az y=(1-2p)x egyenletű egyeneshez. (Ez természetesen nem azt jelenti, hogy biztosan visszatér.)
2. FELADAT
   Milyen távolságra jut el a 0,1 meredekségű egyenestől?
   Pipáld be a „Metszéspontok mutatása” lehetőséget! Hányszor volt az y=0,1x egyenletű egyenestől 10 távolságra?
   
   VÁLASZ:

   Az alkalmazás segítségével megvizsgálható, hogy a bolha „tetszőleges távolságra” eltávolodhat az y=(1-2p)x egyenletű egyenestől. (Nyilvánvalóan az ugrások száma korlátoz abban, hogy ezt ténylegesen lássuk, de sok ugrássorozat megvizsgálásával szemléltethető, hogy vannak olyan esetek, amikor „nagyon elugrál”.)
   A Metszéspontok mutatásának bepipálásával minden ugrássorozat esetén látható, hogy hányszor és mely ugrásoknál tér el az y=(1-2p)x egyenletű egyenestől a megadott távolsággal. Pontosabban az látható, hogy mikor és hány alkalommal ugorta át az y=(1-2p)y egyenletű egyenestől adott távolságra lévő egyeneseket, hiszen ebben az esetben általában nem ugrik rá az egyenesekre.
3. FELADAT Állítsd át az ugrások számát (n)! Vizsgáld meg a bolha útját és a metszéspontok számát, ha nem 500-at, hanem többet ugrik a bolha!
   
   VÁLASZ:

   Ha az ugrások számát növeljük, akkor az y=(1-2p)x egyenletű egyenestől vett eltérés nagysága és az adott távolságra lévő egyenessel vett metszéspontok száma is nagyobb értéket mutathat.
4. FELADAT
   A Beállítás gomb megnyomása után beállíthatod, hogy a bolha egy ugrás alkalmával mekkora valószínűséggel (p) ugorjon negatív irányba, valamint az egyenletű egyenestől vett eltávolodást. A csúszka beállítása után nyomd meg a Beállít gombot és vizsgáld meg a bolha útját!