11. évfolyam
Aszimmetrikus bolyongás 1
Információ ehhez a munkalaphoz
Szükséges előismeret
Binomiális eloszlás
Módszertani célkitűzés
Láttatni, hogy az aszimmetrikus bolyongás egy bizonyos egyenest sokszor metsz (akörül bolyong) annak ellenére, hogy akármilyen messzire eltávolodhat attól.
Az alkalmazás nehézségi szintje, tanárként
Közepes.
Felhasználói leírás
Egy bolha a koordinátasík origójában van. Egy jelre véletlenszerűen ugrik, minden egyes ugrásával vagy „lefelé” az (1;-1) vektorral, vagy„felfelé” az (1;1) vektorral mozdul el (tehát vagy „1-et jobbra és 1-et le”, vagy „1-et jobbra és 1-et fel”). A „lefelé” ugrás valószínűsége legyen 0,53, a „felfelé” ugrásé pedig 0,47.
Ha eddig 10-szer ugrott a bolha, akkor
- hol lehet?
- mekkora valószínűséggel lesz a (10; 10) pontban?
- visszaérkezhetett-e az x tengelyre, azaz a (10;0) pontba? Ha igen, akkor mennyi ennek a valószínűsége?
VÁLASZ:
- Lehet a (10; 10) pontban vagy a (10; –10) pontban, ha mindig „felfelé” vagy mindig „lefelé” ugrik; lehet a (10; 8) vagy a (10; –8) pontban, ha 9-szer az egyik és 1-szer a másik irányba ugrik (9-szer „felfelé” és 1-szer „lefelé” vagy fordítva). Hasonlóan végiggondolható, hogy 10 ugrás után csak olyan pontban lehet a bolha, amelynek első koordinátája 10, a második koordinátája pedig olyan páros egész szám, amelynek az abszolút értéke legfeljebb 10.
- Csak akkor ér a (10;–10) pontba, ha mindig „lefelé” ugrik. Ennek a valószínűsége
0,5310 ≈ 0,00175. - Igen, ha a 10 ugrás között 5 „felfelé” és 5 „lefelé” ugrás volt. Ennek a valószínűség
*0,535*0,475 ≈ 0,2417.
Egy bolha a koordinátasík origójából indulva 500-szor ugrik, minden ugrásnál „lefelé” vagy „felfelé”. A „lefelé” ugrás az vektorral való elmozdulást jelenti, a „felfelé” ugrás pedig az vektorral való elmozdulást. A „lefelé” ugrás valószínűsége 0,53.
Ábrázoljuk a bolha elhelyezkedését az ugrások számának függvényében!
Figyeld meg a bolha útját! Az
gomb megnyomásával indítsd el újra a bolhát!
Kérdések, megjegyzések, feladatok
- FELADAT
Merre „bolyong” a bolha? A vízszintes tengely (az tengely) körül mozog?
VÁLASZ:Ezt a jelenséget bolyongásnak nevezzük. Mivel a két irányba különböző valószínűséggel ugrik a bolha, ezért aszimmetrikus bolyongásnak nevezzük.
Az alkalmazás segítségével legfeljebb 10 000 ugrásig követhető a bolha útja, de természetesen bármeddig (akár a végtelenségig) ugorhatna.
A szimmetrikus bolyongással ellentétben az aszimmetrikus bolyongásnál nem a vízszintes tengely körül mozog a bolha. Ha p valószínűséggel ugrik negatív irányba és (1-p) valószínűséggel pozitív irányba, akkor x számú ugrás után várhatóan (1-2p)x-px=(1-2p)x (előjeles) távolságra lesz a vízszintes tengelytől, azaz a bolha az y=(1-2p)x egyenletű egyenes körül bolyong. (Az egyenes meredeksége 1-2p, és az origón halad át.)
(Vegyük észre, hogy a p=0,5 speciális eset éppen a szimmetrikus bolyogásnak felel meg.)
A (végtelen) aszimmetrikus bolyongás rendelkezik két fontos, érdekes tulajdonsággal:- A bolha az y=(1-2p)x egyenletű egyenestől akármennyire „eltávolodhat”. Pontosabban 1 valószínűséggel tetszőlegesen nagy távolságra juthat tőle. (Vigyázzunk! Ha a lehetséges kimenetelek száma nem véges, akkor az 1 valószínűségű esemény nem azonos a biztos eseménnyel.)
- Bár a bolha az 1) tulajdonság miatt tetszőlegesen messzire elbolyonghat, de 1 valószínűséggel „visszatér” az y=(1-2p)x egyenletű egyeneshez. (Ez természetesen nem azt jelenti, hogy biztosan visszatér.)
- FELADAT
Pipáld be a „Metszéspontok mutatása” lehetőséget! Hányszor ugrik vissza az egyeneshez?
VÁLASZ:Az Alkalmazás segítségével megvizsgálható, hogy a bolha általában az 1-2p meredekségű egyenes körül bolyong.
Számos esetben „elugrál”, de jellemzően körülötte helyezkedik el. A Metszéspontok mutatásának bepipálásával minden ugrássorozat esetén látható, hogy hányszor és mely ugrásoknál tért vissza a bolha az 1-2p meredekségű egyeneshez. - FELADAT
Állítsd át az ugrások számát (n)! Vizsgáld meg a bolha útját és a metszéspontok számát, ha nem 500-at, hanem többet ugrik a bolha!
VÁLASZ:Ha az ugrások számát növeljük, akkor a visszatérések száma is várhatóan több lesz, illetve az egyenestől vett távolságok is nagyobb értékeket mutathatnak. - FELADAT
A Beállítás gomb megnyomása után beállíthatod, hogy a bolha egy ugrás alkalmával mekkora valószínűséggel ugorjon „lefelé”. A csúszka beállítása után nyomd meg a Beállít gombot és vizsgáld meg a bolha útját!