11. évfolyam
A binomiális és a hipergeometrikus eloszlások
Információ ehhez a munkalaphoz
Szükséges előismeret
Binomiális eloszlás, hipergeometrikus eloszlás.
Módszertani célkitűzés
Ezzel a segédanyaggal megmutathatjuk, hogy hogyan viszonyul egymáshoz a binomiális eloszlás és a hipergeometrikus eloszlás.
Az alkalmazás nehézségi szintje, tanárként
Könnyű, nem igényel külön készülést.
Módszertani megjegyzések, tanári szerep
Érdemes a csoportban elvégeztetni a következő kísérletet: (gyerekenként/tanulópáronként) huszonöt papírlap közül 15-re x-et tenni, majd gyerekenként tízszer húzni a cetlik közül visszatevés nélkül, majd visszatevéssel (minden alkalommal egyet-egyet). Az eredmények összeszámolása után megnézni, hogy milyen arányban volt az x-ek száma az egyes kísérletekben az összes kísérlethez viszonyítva. Természetesen ezt érdemes összehasonlítani az alkalmazás grafikonjaival is.
A korrektebb kísérlet-végrehajtáshoz érdemes hobbiboltokban beszerezhető kis műanyag gyöngyöket használni.
Ezzel a segédanyaggal akkor érdemes foglalkozni, ha a korábbi binomiális és hipergeometriai eloszlással foglalkozó anyagokat már feldolgozták és megértették a tanulók.
Emiatt ebben a leírásban már nem részletezzük a valószínűségek kiszámítási módjait, ugyanakkor az Alkalmazásban lehetőség van arra, hogy a képleteket megjelenítsék.
Egy esemény valószínűségét egy 0 és 1 közé eső számmal jellemezzük, amit a hétköznapi életben gyakran százalékos formában használnak.
Ebben a segédanyagban valószínűségek különbségét vizsgáljuk, emiatt nagyon fontos megjegyezni, hogy százalékos mennyiségek különbségét nem százalékos formában értelmezzük, ugyanis a százalék egy arány.
Két százalékos mennyiség különbségét százalékpontnak mondjuk.
A százalék és százalékpont közötti különbséggel muszáj tisztában lenni, mert a hétköznapi életben számos alkalommal találkozhatunk olyan esettel, ahol a százalékos mennyiségek különbségét hibásan százaléknak mondják.
Például választási műsorokban vagy tehetségkutató műsorokban a szavazati arányok különbsége; munkanélküliségi rátának a megváltozása. A gazdasági életben gyakran előforduló jegybanki alapkamat változását általában bázispontként említik.
Felhasználói leírás
FELADAT
Egy dobozban van 25 golyó, amelyből 10 piros. Ebből a dobozból húzunk 12-ször. Mennyi lesz a valószínűsége annak, hogy pontosan 5 piros golyó lesz a kihúzottak között, ha a kihúzott golyókat visszatesszük/nem tesszük vissza.
Hogyan viszonyul egymáshoz a két valószínűség értéke?
Kérdések, megjegyzések, feladatok
- FELADAT
Állítsd be az alkalmazásban a feladatban megfogalmazott értékeket!
Vigyázz! Az értékek megadásakor vedd figyelembe a korlátokat!
VÁLASZ:N = 25
K = 10
n = 12
k = 5 - FELADAT
Válaszolj a megfogalmazott kérdésre, ha egyszerre húzzuk a golyókat!
VÁLASZ:Hipergeometriai eloszlás esetén az esemény valószínűsége 0,3118.
(Vagy másképpen 31,18%.) - FELADAT
Válaszolj a megfogalmazott kérdésre, ha visszatevéssel húzzuk a golyókat!
VÁLASZ:Binomiális eloszlás esetén az esemény valószínűsége 0,227.
(Vagy másképpen 22,7%.) - FELADAT
A kétféle húzási módot összehasonlítva mekkora a valószínűségek különbsége?
VÁLASZ:A két valószínűség eltérése 0,0848.
(Azaz 8,48 százalékpont.) - FELADAT
Hogyan változik a két valószínűség eltérése, ha a dobozban 50 golyó van, amiből 20 piros?
Vedd észre, hogy a piros golyók aránya ugyanannyi, mint az eredeti feladatban!
VÁLASZ:N = 50; K = 20
Hipergeometriai eloszlás esetén az esemény valószínűsége 0,26.
(Vagy másképpen 26%.)
Binomiális eloszlás esetén az esemény valószínűsége ugyanúgy 0,227, hiszen a pirosak aránya ugyanannyi.
(Vagy másképpen 22,7%.)
A két valószínűség eltérése 0,033. (Azaz 3,3 százalékpont.) - FELADAT
Hogyan változik a két valószínűség eltérése, ha a dobozban 100 golyó van, amiből 40 piros?
Vedd észre, hogy a piros golyók aránya ugyanannyi, mint az eredeti feladatban!
VÁLASZ:N = 100; K = 40
Hipergeometriai eloszlás esetén az esemény valószínűsége 0,2419.
(Vagy másképpen 24,19%.)
Binomiális eloszlás esetén az esemény valószínűsége ugyanúgy 0,2007 (vagy másképpen 20,07%), hiszen a pirosak aránya ugyanannyi.
A két valószínűség eltérése 0,0149. (Azaz 1,49 százalékpont.)
MÓDSZERTANI MEGJEGYZÉS
Minél nagyobb a sokaság elemszáma, változatlan „selejtarány” és mintaelemszám esetén a hipergeometrikus eloszlás egyre jobban közelít a binomiális eloszláshoz.
Vagyis nagy minta esetén majdhogynem mindegy, hogy a mintát visszatevéssel vagy visszatevés nélkül vesszük. - FELADAT
Egy dobozban van 25 golyó, amelyből 15 piros. Ebből a dobozból húzunk 12-ször.
Mennyi lesz a valószínűsége annak, hogy a kihúzott golyók között pontosan 7 piros golyó lesz, ha a kihúzott golyókat visszatesszük / nem tesszük vissza.
Az alkalmazásban a paramétereket milyen értékre kell beállítani?
Hogyan viszonyul egymáshoz a két valószínűség értéke?
VÁLASZ:A feladat gyakorlatilag megegyezik a kiindulási feladattal. Itt a pirosak a kiindulási feladatban lévő „piros” komplementerének felelnek meg.
A valószínűségek megegyeznek a korábbiakkal.
Az Alkalmazás korlátai miatt a paramétereket ugyanazokra az értékekre kell beállítani, mint a kiindulási feladatban.
MÓDSZERTANI MEGJEGYZÉS
Az alkalmazással gyakorolhatók olyan további feladatok, amelyeknél a komplementer-feladatot kell alkalmazni. - FELADAT
Az alkalmazás milyen beállításainál fordul az elő, hogy a két eloszlás összes értéke 1 százalékpontnál kisebb eltérést mutasson egymáshoz képest?
VÁLASZ:Célszerű az összes golyó számát a kihúzott golyók számának legalább a 20-szorosára állítani.
Egy példa:
100 golyóból 25 piros, és 5-öt húzunk ki.
10-szeres szorzónál csak 1-2 értéknél lesz magasabb az eltérés 1 százalékpontnál. - FELADAT
Milyen beállításoknál van „nagy” különbség a két eloszlás egyes értékei között?
VÁLASZ:Ha a kihúzott golyók száma közel van az összes golyó számához.