GEOMATECH tananyagok

KERESÉS

Felhasználói leírás

Az f(x)=x²; x $\in$ [0;1] függvény határozott integráljának közelítő meghatározása Monte-Carlo módszerrel.

EMBED

Kérdések, megjegyzések, feladatok

KAPCSOLÓDÓ ÉRDEKESSÉGEK
A Monte-Carlo módszert már a század elején is használta néhány statisztikus, de akkor indult igazán fejlődésnek, amikor Neumann János, S. Ulam és E. Fermi atommag reakciókra vonatkozó bonyolult és rendkívül számolásigényes matematikai problémák számítógéppel történő megoldására használták.

1. FELADAT
   A pontok számának növelésével juss el 1000 pontig, és foglald össze, mit tapasztalsz!
   
   VÁLASZ:

   A jobb oldali koordináta rendszerben a görbe alatti terület látható.
   Ezek az értékek csak kismértékben térnek el egymástól.
   Adjunk lehetőséget arra, saját szavaikkal fogalmazzák meg a tapasztalataikat.
2. FELADAT
   Mekkora a valószínűsége annak, hogy egy pont a függvény görbéje alatti területre esik, azaz belső pont? (A grafikonra eső pontok is legyenek belső pontok.)
   A geometriai valószínűség esetén egy véletlen kísérlet elemi eseményeit egy geometriai alakzat pontjainak kiválasztásával modellezzük. Annak valószínűsége, hogy egy pont egy adott geometriai alakzatba esik, arányos az alakzat területével. Jelen esetben P(belsőpont)=$\frac{görbe alatti terület}{téglalap területe}$.
3. FELADAT
   Milyen kapcsolat lehet a görbe alatti terület és x_kezdő az és x_záró értékek, valamint a hozzájuk rendelt függvényértékek közül a nagyobb által meghatározott téglalap területe között?
   A két függvényérték közül miért a nagyobbat választjuk?
   
   VÁLASZ:

   A görbe alatti terület közelítő értéke a $\frac{k}{n}$T lesz, ahol a T az x_kezdő és x_záró értékek valamint általuk meghatározott intervallumon felvett maximumérték által meghatározott téglalap területe, k a görbe alatti területbe eső pontok száma; n a téglalapba szórt pontok száma.
   Segítségként használhatjuk a „Görbe alatti terület” jelölőnégyzetet.
   Azért választjuk az x_kezdő és x_záró helyeken felvett függvényértékek közül a nagyobbat, mert a függvény szigorúan monoton, így ez a maximum érték.