GEOMATECH tananyagok

KERESÉS

Feladat

Egy éjszakai taxis gázolási ügyet tárgyalnak a bíróságon.

A városban két taxi társaság van, az egyik kék, a másik zöld kocsikkal közlekedik. Egy szemtanú a gázoló autót zöldnek látta. Az ügyész kételkedik ebben, ezért egy felmérést készít arról, hogy sötétben mekkora a két szín felismerésének gyakorisága.

Az derül ki, hogy 100 zöld autóból 9-et kéknek (91-et pedig zöldnek) azonosít az éjszakai szemtanú, míg 100 kék autóból 13-at lát zöldnek és 87-et kéknek. A városi taxik 75%-a kék, 25%-a pedig zöld (és a baleset időpontjában a forgalomban lévő kocsik színének ugyanez volt az aránya).

Ha semmi egyéb információnk nincs, akkor mekkora az esélye, hogy a zöldnek mondott autó tényleg zöld?

Tanácsok az interaktív alkalmazás használatához

Beállítható a taxik szín szerinti aránya, a zöldnek látszó kék taxik aránya és a kéknek látszó zöld taxik aránya. A hosszú vízszintes csúszkával lépésenként jeleníthető meg a valószínűségi fa.

Feladatok

1. FELADAT
   Állítsd be az alkalmazást a feladatnak megfelelően!
2. FELADAT
   A városban futó összes taxinak
   a) hány százaléka olyan, hogy kék és a szemtanú valóban kéknek látja?
   VÁLASZ:

   0,75 ∙ 0,87 = 0,6525 → 65,25%.
   
   b) hány százaléka olyan, hogy kék, de a szemtanú tévesen zöldnek látja?
   VÁLASZ:

   0,75 ∙ 0,13 = 0,0975 → 9,75%.
3. FELADAT
   A városban futó összes taxinak
   a) hány százaléka olyan, hogy zöld, de a szemtanú tévesen kéknek látja?
   VÁLASZ:

   0,25 ∙ 0,09 = 0,0225 → 2,25%.
   
   b) hány százaléka olyan, hogy zöld és a szemtanú valóban zöldnek látja? (
   ÁLASZ:

   0,25 ∙ 0,91 = 0,2275 → 22,75%.
4. FELADAT
   A szemtanú a városban futó taxik
   a) hány százalékát látja kéknek?
   VÁLASZ:

   65,25% + 2,25% = 67,5%.
   
   b) hány százalékát látja zöldnek?
   VÁLASZ:

   9,75% + 22,75% = 32,5%.
   
   (Itt tulajdonképpen a teljes valószínűség tételét használtuk.)
5. FELADAT
   Válaszolj az eredeti kérdésre: Mekkora az esélye, hogy a zöldnek mondott autó tényleg zöld?
   VÁLASZ:

   $\frac{22,75 \%}{32,5 \%} = 0,7 → 70 \%$.
   
6. FELADAT
   Mi a véleményed? Mennyire bízhatunk meg a szemtanú vallomásának, miszerint zöld taxit látott?
   VÁRHATÓ MAGYARÁZAT:

   Csupán 0,7 a valószínűsége annak, hogy a zöldnek látott taxi valóban zöld. Ezt nem túlságosan meggyőző ahhoz, hogy igaznak fogadjuk el. Természetesen nincsen szigorú megállapodás arról, hogy milyen valószínűség esetén hihető, hogy tényleg zöld taxit látott a szemtanú. Bár a zöld taxik nagyon nagy hányadát (91%-át) jól érzékeli, azonban a jóval nagyobb arányú kék taxik esetén a tévedés valószínűsége nagyobb (13%), mint a zöldeknél (9%). Emiatt fordulhat elő az, hogy a zöldnek látszó taxik 30%-a valójában kék.
7. FELADAT
   Hogyan változna az eredetileg feltett kérdésre a válasz, ha
   a) a zöldnek látszó kék taxik aránya is 9% lenne?
   VÁLASZ:

   77,12%
   
   b) a kéknek látszó zöld taxik aránya is 13% lenne?
   VÁLASZ:

   69,05%
   
   (Innen látszik, hogy a szemtanú vallomásának hihetőségét nagyobb mértékben befolyásolja az, hogy a kék taxik hányadrészét látja zöldnek, mint az, hogy a zöld taxik hány százalékát észleli tévesen kéknek.)

Nehéz, érdemes előre megismerni a teljes anyagot.